快速沃爾什變換（FWT）

最近學了 min-max 容斥，好像幾乎每一道 min-max 容斥題都要用到 FWT 來輔助，所以順便學一下 FWT。

概述

與 FFT 類似。

需要求的是

$C(k)=\sum_{i\oplus j=k}A(i)*B(j)$

其中 $\oplus$ 可以指代位運算符號，例如按位和，按位或，按位異或。

實際上方法也非常類似。我們需要這樣一個變換和他的逆變換

$FWT(A\oplus B)=FWT(A)\cdot FWT(B)$

$IFWT(FWT(A))=A$

其中 $A \cdot B$ 表示多項式對應位置係數相乘。這樣子我們就可以先求得變換後的多項式，然後 $O(n)$ 對應位置相乘，再變換回去。（廢話）

或卷積

設

$FWT(A)_i=\sum_{i|j=i}A_j$

感性理解就是算這個集合的所有子集的權值和。

可以發現

$FWT(A|B)=FWT(A)\cdot FWT(B)$

滿足要求。

然後我們看如何快速計算這個東西。

還是受 FFT 的啓發，考慮分治算這個東西。假設當前多項式 $A$ 次數爲 $2^n-1$ 次，那麼我們把他按最高位是 $0$ 還是 $1$ 分成兩個次數爲 $2^{n-1}-1$ 的多項式，叫做 $A0,A1$ 。

然後觀察可得

$FWT(A)=(FWT(A0), FWT(A0)+FWT(A1))$

其中 $(A,B)$ 表示兩個多項式首尾相接。原因很簡單，因爲要取子集，所以這一位爲 $0$ 的一定包含於這一位爲 $1$ 的集合中。

然後就可以分治 $O(n\log n)$ 算了呀。

他的逆變換是這樣的

$IFWT(A)=(IFWT(A0),IFWT(A1)-IFWT(A0))$

感性理解起來也很方便，現在一個位置的數表示子集權值和，那我們還是一位一位考慮，把他的真子集全部都刪掉就好了。

具體證明就不證了。並且這個東西比 FFT 還好寫。

和卷積

一模一樣。您可以將公式替換到上面的或卷積中，然後復讀一遍。

$FWT(A)_i=\sum_{i\&j=i} A_j$

表示取所有包含他的集合的權值和。

所以

$FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1), FWT(A1))$

$IFWT(A)=(FWT(A0)-FWT(A1), FWT(A1))$

異或卷積

與上述兩個不是很一樣。稍微麻煩一點。這裏我們用更爲普適的方法來解決異或卷積的問題。

可以參考 這篇博客 。

異或卷積定義如下

$(A\;xor\;B)_i=\sum_{j\;xor\;k=i}A_jB_k$

首先我們假設異或變換爲

$FWT(A)_i=\sum_{j=0}^{n-1}K(i,j)A_j$

其中 $K(i,j)$ 爲關於 $i,j$ 的函數。

然後考慮到

$FWT(A \; xor \; B)=FWT(A)\cdot FWT(B)$

所以對於每一位 $x$ 都有

$\sum_{i=0}^{n-1}K(x,i)(A \; xor \; B)_i=\sum_{j=0}^{n-1}K(x,j)A_j\cdot \sum_{k=0}^{n-1}K(x,k)B_k$

將最上面的定義帶代入，得到

$\sum_{i=0}^{n-1}K(x,i)\sum_{j\;xor\;k=i}A_jB_k=\sum_{j=0}^{n-1}K(x,j)A_j\cdot \sum_{k=0}^{n-1}K(x,k)B_k$

化簡

$\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}K(x,j\;xor\;k)A_jB_k=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}K(x,j)K(x,k)A_jB_k$

所以我們發現

$K(x,j\;xor\;k)=K(x,j)K(x,k)$

只要係數滿足這個就完全可以做 FWT 了。但是因爲 IFWT 的需要，我們還要保證他可以反演，也就是說轉移矩陣可逆。

所以對於異或卷積，根據人類智慧，我們發現係數可以這樣設

$K(x,i)=(-1)^{|x\& i|}$

其中 $|A|$ 表示集合大小，或者說一個二進制數中 $1$ 的個數。

因爲考慮異或對集合大小奇偶性的影響，發現兩個集合異或之後他們集合大小的奇偶性也會異或起來。感性理解的話就把異或看成不進位的二進制加法就好。

然後因爲

$(x\&i)\;xor\;(x\& j)=x\&(i\;xor\;j)$

上面的式子對於集合大小的奇偶性也是一樣的，所以係數

$(-1)^{|x\&(i\;xor\;j)|}=(-1)^{|x\& i|}\cdot (-1)^{|x\& j|}$

現在我們看看如何用分治來做異或卷積。

既然已經定義了

$FWT(A)_i=\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^{|i\&j|}A_j$

只要嘗試着在已知 $FWT(A0),FWT(A1)$ 的情況下在每一個數前面加上 $0$ 或者 $1$ 再算一遍就好了，我們可以得到如下式子

$FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)-FWT(A1))$

$IFWT(A)=(\frac{IFWT(A0)+IFWT(A1)}{2},\frac{IFWT(A0)-IFWT(A1)}{2})$

大功告成。

總結

和 FFT 非常類似，可以類比 FFT 理解。

作爲一種工具，要熟練掌握並能在該用的地方用出來。