原根的性質及其求法

在很多地方都用到了原根，比如 NTT 用到了原根的性質，比如離散對數需要用到的指標也與原根有關。

然而在此之前我對原根並不是非常瞭解，所以來補一補知識盲區。

定義

稱 $g$ 爲 $p$ 的原根，當且僅當 $g$ 在 $mod \;p$ 意義下的階爲 $\varphi(p)$ （這裏的 $\varphi(p)$ 是歐拉函數）。

p.s. 若 $g,p$ 互質， $n$ 是滿足 $g^n\equiv 1\mod m$ 的最小正整數 ， 稱 $n$ 爲 $g$ 模 $p$ 的階。

性質

根據定義，有

$\forall i,j\in[0,\varphi(p)-1],i\neq j,g^i\not\equiv g^j\mod p$

證明很顯然，可以用反證法：

若 $g$ 是 $p$ 的原根，且 $\exist i,j\in[0,\varphi(p)-1],i\neq j,g^i\equiv g^j\mod p$

那麼 $g^{|i-j|}\equiv 1\mod p$

因爲 $i,j\in[0,\varphi(p)-1],i\neq j$

所以 $0<|i-j|<\varphi(p)-1$

由性質可知 $g$ 不是 $p$ 的原根。

求原根

做法：

還是利用原根的定義。

將歐拉函數質因數分解 $\varphi(p)=\prod p_i^{k_i}$

若一個數 $g$ 滿足 $\forall i,g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\neq 1\mod p$ ，那麼他是 $p$ 的一個原根。

證明：

證明用到裴蜀定理。

假設存在一個 $k<\varphi(p)$ 使得 $g^k\equiv 1(mod\;p)$

根據裴蜀定理，一定存在一組 $a,b$ 滿足 $a\cdot k-b\cdot\varphi(p)=gcd(k, \varphi(p))$

所以 $g^k\equiv g^{gcd(k, \varphi(p))+b\cdot\varphi(p)}\equiv g^{gcd(k,\varphi(p))}\equiv 1(mod \; p)$

因爲 $k<\varphi(p)$ 所以 $gcd(k,\varphi(p))<\varphi(p)$

又因爲 $gcd(k,\varphi(p))|\varphi(p)$

所以一定存在一個 $g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\equiv 1(mod\; p)$ ，通過檢驗這些數就可以知道一個數是不是原根了。

應用

1.指標

指標函數 $I(x)$ 定義如下：

$g^{I(x)}\equiv x\mod p$

可以對比一下連續的對數：

$a^{\log_ax}=x$

可以發現兩者非常相似。 $I(x)$ 也就是離散對數。與一般意義下的對數性質也非常相似，可以在取模意義下把乘法變成加法，把乘方變成乘法。

詳情請見 [SDOI2015]序列統計 。

2.NTT

NTT 用原根來代替實數中使用的單位根 $\omega$ 。

設$g$是質數$p$的原根，再設$\omega_n=g^{(p-1)/n}$（$p$滿足$n|p-1$）。

1. $\omega_n^{n}\equiv 1(mod\; p)$
2. $\omega_n^0,\omega_n^{1},\dots,\omega_n^{n-1}$ 在 $mod\; p$ 意義下互不相同
3. $\omega_n^k\equiv -\omega_n^{k+n/2}$即$\omega_n^{n/2}\equiv-1(mod\; p)$

第 2 點保證了能夠插值，第 3 條保證了 INTT（不知道是不是這麼叫，反正就是類似 IDFT 的過程）的進行。