取值爲[1，n-1]含n個元素的整數數組至少存在一個重複數，找出一個重複元素

1. 問題描述

取值爲[1，n-1]含n個元素的整數數組至少存在一個重複數，O（n）時間內找出其中任意一個重複數。如a[]={1,2,2,4,5,4}，則2和4均是重複元素。

2. 解決方案

<單鏈表存在環> 第三種解決方案有很強的技巧性。“判斷單鏈表是否存在環”是一個非常經典的問題，同時單鏈表可以採用數組實現，此時每個元素值作爲next指針指向下一個元素。該題可以轉化爲“已知一個單鏈表中存在環，找出環的入口點”。

該題思路如下：將a[i]看做第i個元素的索引，即：a[i]->a[a[i]]->a[a[a[i]]]->a[a[a[a[i]]]]->….最終形成一個單鏈表，由於數組a中存在重複元素，則一定存在一個環，且環的入口元素即爲重複元素。

該題的關鍵在於，數組a的大小時n，而元素的範圍是[1,n-1]，所以a[0]不會指向自己，進而不會陷入錯誤的自循環。如果元素的範圍中包含0，則該題不可直接採用該方法。

代碼如下：

int find_duplicated_integer2(int a[], int n) {
	int x, y;
	x = y = 0;
	do {
		x = a[a[x]]; //x一次走兩步
		y = a[y]; //y一次走一步
	} while(x != y); //找到環中的一個點
	x = 0;
	do {
		x = a[x];
		y = a[y];
	} while(x != y); //找到入口點
	return x;
}

以上參見http://www.jobcoding.com/datastructure-and-algorithm/array/one-unsorted-array/find-one-duplicated-integer/​

一開始不明白爲什麼分這樣的兩趟進行，後來用數學式推導了一下是對的。

證明上述方法的正確性：

設環外、環上元素個數分別爲a,b。

進行第一次循環，初始狀態x=0,y=0。x,y從環外開始走，第a+1步進入環後必定在環上追趕而相遇，設相遇時y走了a+m步，則x走了2(a+m)步=a+(a+2m).

a+m,a+(a+2m)在環上同一位置（但並不一定是環的入口a+1），那麼兩者之差a+m是環上元素個數b的倍數，即a+m可被b整除，設a+m=nb.

進行第二次循環，初始狀態x=0,y=a+m。x從環外開始走，第a+1步到達環的入口；此時y到達a+m + a+1=a+nb+1，同樣也是環的入口。故兩者在環的入口相遇。

入口點元素即爲數組重複元素。