入門區間DP，第一個問題就是線性的規模小的石子合併問題
dp數組的含義是第i堆到第j堆進行合併的最優值
就是說dp[i][j]可以由dp[i][k]和dp[k+1][j]轉移過來
狀態轉移方程 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]) 對於第i堆到第j堆合併的花費 他的子問題是第i個的合併順序
op1：k實際上控制的是第i堆也就是起始堆的合併順序 因爲必須是相鄰合併dp[i][i] 先合併dp[i+1][j]最後再來合併第i堆 dp[i][i+1] && dp[i+2][j] 就是分開合併i 和i + 1堆，i+2和j之間所有的堆，最後+tmp作整體合併 ok got it!
/*
入門問題——取石子
每次只能合併相鄰的一堆
求最小花費
dp[i][j] 常常用來表示i到j這個區間的最優值是多少
也就是說dp[i][j]可以由dp[i][k]和dp[k+1][j]轉移過來
狀態轉移方程
dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j])
對於第i堆到第j堆合併的花費
他的子問題是第i個的合併順序
op1：k實際山控制的是第i堆也就是起始堆的合併順序
因爲必須是相鄰合併dp[i][i] 先合併dp[i+1][j]最後再來合併第i堆
dp[i][i+1] && dp[i+2][j]
就是分開合併i 和i + 1堆，i+2和j之間所有的堆，最後+tmp作整體合併
ok got it!
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#define inf 1e8 + 1e7
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 1e1;
int dp[maxn][maxn],sum[maxn];
int a[maxn];
//由sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子全部合併的總石子量。
//dp[i][j]爲第i堆石子到第j堆合併的花費
int getMinval(int n)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int v = 1;v < n;v++)//第一維：循環控制合併堆的長度從長度2開始
for(int i = 0;i < n-v;i++)//起點
{
int j = i + v;//終點
dp[i][j] = inf;//僅僅一次初始化的機會，所以可以在裏面進行初始化
int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i - 1] : 0);//求取i-j中合併的最後一次花費
for(int k = i;k < j;k++)
dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + tmp);
}
return dp[0][n-1];
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i = 0;i < n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
sum[0] = a[0];
//sum[i] 表示從1-i堆中石子的總個數
for(int i = 1;i < n;i++)
sum[i] = sum[i-1] + a[i];
printf("%d\n",getMinval(n));
}
return 0;
}
數據量稍微大一些的就不能用n3的複雜度來進行計算了
於是我們找到了數學優化公式——四邊形不等式優化法則
先來說結論，優化的地方是對k的尋找，最優值k
如果零s[i][j] 來表示dp[i][j]取得最優值時候的k值，那麼k的取值範圍是{s[i][j-1],s[i+1][j]}
關於證明看了很多博客了，這裏有一篇博客不錯，拿來引用一下
https://blog.csdn.net/NOIAu/article/details/72514812
核心如下
~PART ONE 交叉小於包含 對於（ a < b <= c< d ） 如果有f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d] (可以理解爲一句話，交叉小於包含，即交叉的兩個區間，a到c和b到d的值滿足小於等於包含的兩個區間[bc包含於ad]) 則說這個東西滿足四邊形不等式，當然這個東西可能是dp數組，也可以是其他數組，比如引入裏提到的cost數組，表示的是i到j的花費（比如合併石子問題） 給出兩個定理： 1、如果上述的w函數同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函數dp也滿足四邊形不等式性質 我們再定義s(i,j)表示 dp(i,j) 取得最優值時對應的下標（即 i≤k≤j 時，k 處的 dp 值最大，則 s(i,j)=k此時有如下定理 2、假如dp(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，即 s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1) 如果不知道爲什麼，沒有關係，反正後面都要證明
具證明過程，有興趣的可以去看看上面大佬的博客
dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost[i][j]}
對於代價數組cost[i][j]要進行證明其符合四邊形不等式：cost[i][j]+cost[i+1][j+1]<=cost[i+1][j]+cost[i][j+1]
對於所有的i，j，令其滿足i< i+1<=j< j+1
我們需要證明
cost[i][j]+cost[i+1][j+1]<=cost[i+1][j]+cost[i][j+1]
移項
cost[i][j]-cost[i+1][j]<=cost[i][j+1]-cost[i+1][j+1]
令f（j）=cost[i][j]-cost[i+1][j]
f（j）=cnt[j]-cnt[i-1]-(cnt[j]-cnt[i])
f（j）=cnt[i]-cnt[i-1]
都跟j無關了，自然一定滿足四邊形不等式（這個時候是直接等於了，但沒有違反四邊形不等式）
同理證明dp數組的滿足性
要推導dp[i][j]的凸性，自然要滿足對任意的i，j，令i< i+1<=j< j+1 有如下結論 dp[i][j]+dp[i+1][j+1]<=dp[i+1][j]+dp[i][j+1] 令dp[i+1][j]取得最優值的時候k=x 令dp[i][j+1]取得最優值的時候k=y 令x < =y(之後還要令x > y，這裏不再贅述，讀者如有興趣可以自行推導，方式相似) 將k=x代入dp[i][j]，k=y代入dp[i+1][j+1] 左式=dp[i][x]+dp[x+1][j]+cost[i][j]+dp[i+1][y]+dp[y+1][j+1]+cost[i+1][j+1]① 而對於i< i+1<=j< j+1 由於已經在壹中證明了cost的凸性，所以 cost[i][j]+cost[i+1][j+1]<=cost[i+1][j]+cost[i][j+1]② 我們會發現這個不等式的左邊在①式中出現過，所以把②式中的左式和右式替換一下可以得到如下結論 dp[i][x]+dp[x+1][j]+cost[i][j]+dp[i+1][y]+dp[y+1][j+1]+cost[i+1][j+1] < =
dp[i][x]+dp[x+1][j+1]+cost[i][j+1]+dp[i+1][y]+dp[y+1][j]+cost[i+1][j]
即dp[i][j]+dp[i+1][j+1]<=dp[i][j+1]+dp[i+1][j] 證畢
最後來看決策函數的滿足性（s[i][j] = k）
現在我們已經證明了cost數組和dp數組的凸性，要證明決策單調以證明優化的正確性 即要證明s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] 對於s[i][j-1]<=s[i][j] 令dp[i][j-1]取得最小值時的k=y，對於所有x≠y，令x<=y 可以有如下推導 ∵x+1<=y+1<=j-1< j 四邊形不等式有： dp[x+1][j-1]+dp[y+1][j]<=dp[y+1][j-1]+dp[x+1][j]
在式子兩邊同時加上dp[i][x]+cost[i][j-1]+dp[i][y]+cost[i][j] 可以得到
dp[i][x]+dp[x+1][j-1]+cost[i][j-1]+dp[i][y]+dp[y+1][j]+cost[i][j] < = dp[i][x]+dp[x+1][j]+cost[i][j]+dp[i][y]+dp[y+1][j-1]+cost[i][j-1]
dp[i][j-1]+dp[i][j]<=dp[i][j]+dp[i][j-1] (k=x)…………(k=y)……(k=x)……(k=y) 移項
dp[i][j-1]-dp[i][j-1]<=dp[i][j]-dp[i][j] (k=x)…………(k=y)……(k=x)……(k=y)
由於我們是令k=y時dp[i][j-1]取得最小值，那麼dp[i][j-1] (k=x)一定大於等於dp[i][j-1] (k=y)，所以左式大於零，所以右式也大於零，所以對於dp[i][j-1]可以取到最優值的y，所有小於它的值，對於dp[i][j]來說，都沒有y優，所以最優決策一定不是小於y的，如果令s[i][j]表示dp[i][j]取得最優值的時候的k值，那麼一定有 s[i][j-1]<=s[i][j] 證畢
所以我們就可以對代碼進行優化，得到如下的解決過程
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#define inf 1e8 + 1e7;
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 1e1;
int dp[maxn][maxn],s[maxn][maxn],cnt[maxn];
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%d",&cnt[i]);
cnt[i] = cnt[i-1] + cnt[i];
}
for(int i = 0;i <= n;i++)
{
dp[i][i] = 0;
s[i][i] = i;
}
for(int i = n;i >= 1;i--)//從上到下進行鋪墊，因爲高決策範圍爲s[i+1][j]
{
for(int j = i + 1;j <= n;j++)//從下到上進行鋪墊因爲，低決策範圍需要s[i][j-1]
{
//有過疑問：爲什麼從i+1開始，這不廢話，直線型的dp，i到j的最優值問題，區間問題。。。
int tmp = inf;
int te;
for(int k = s[i][j-1];k <= s[i+1][j];k++)//取最優決策集合//這樣的性質是這個不等式擁有的，他的最優解就是這樣單調的
{
if(tmp > dp[i][k] + dp[k+1][j] + cnt[j] - cnt[i-1])
{
tmp = dp[i][k] + dp[k+1][j] + cnt[j] - cnt[i-1];
te = k;
}
}
dp[i][j] = tmp;
s[i][j] = te;
}
}
cout<<dp[1][n]<<endl;
}
return 0;
}