魔術球問題 |
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description |
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假設有n根柱子，現要按下述規則在這n根柱子中依次放入編號爲1，2，3，...的球。
（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。
（2）在同一根柱子中，任何2個相鄰球的編號之和爲完全平方數。
試設計一個算法，計算出在n根柱子上最多能放多少個球。例如，在4 根柱子上最多可放11 個球。
對於給定的n，計算在n根柱子上最多能放多少個球。
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input |
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多組數據輸入.
每組輸入1個正整數n，表示柱子數。
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output |
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每組輸出n 根柱子上最多能放的球數。
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sample_input |
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4
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sample_output |
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11
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枚舉答案轉化爲判定性問題，然後最小路徑覆蓋，可以轉化成二分圖最大匹配，從而用最大流解決。
【建模方法】
枚舉答案A，在圖中建立節點1..A。如果對於i<j有i+j爲一個完全平方數，連接一條有向邊(i,j)。該圖是有向無環圖，求最小路徑覆蓋。如果剛好滿足最小路徑覆蓋數等於N，那麼A是一個可行解，在所有可行解中找到最大的A，即爲最優解。
具體方法可以順序枚舉A的值，當最小路徑覆蓋數剛好大於N時終止，A-1就是最優解。
【建模分析】
由於是順序放球，每根柱子上的球滿足這樣的特徵，即下面的球編號小於上面球的編號。抽象成圖論，把每個球看作一個頂點，就是編號較小的頂點向編號較大的頂點連接邊，條件是兩個球可以相鄰，即編號之和爲完全平方數。每根柱子看做一條路徑，N根柱子要覆蓋掉所有點，一個解就是一個路徑覆蓋。
最小路徑覆蓋數隨球的數量遞增不遞減，滿足單調性，所以可以枚舉答案（或二分答案），對於特定的答案求出最小路徑覆蓋數，一個可行解就是最小路徑覆蓋數等於N的答案，求出最大的可行解就是最優解。本問題更適合枚舉答案而不是二分答案，因爲如果順序枚舉答案，每次只需要在殘量網絡上增加新的節點和邊，再增廣一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建圖，大大增加了時間複雜度。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int oo=1e7;
const int mm=111111;
const int mn=8888;
int node,src,dest,edge,ret;
int reach[mm],cap[mm],flow[mm],next[mm];
int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];
inline int min(int a,int b)
{
return a<b?a:b;
}
inline void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0;i<node;++i)head[i]=-1;
edge=ret=0;
}
inline void addedge(int u,int v,int c)
{
reach[edge]=v,cap[edge]=c,flow[edge]=0,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
reach[edge]=u,cap[edge]=0,flow[edge]=0,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool Dinic_bfs()
{
int i,u,v,l,r=0;
for(i=0;i<node;++i)dis[i]=-1;
dis[q[r++]=src]=0;
for(l=0;l<r;++l)
for(i=head[u=q[l]];i>=0;i=next[i])
if(flow[i]<cap[i]&&dis[v=reach[i]]<0)
{
dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
if(v==dest)return 1;
}
return 0;
}
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
if(u==dest)return exp;
for(int &i=work[u],v,tmp;i>=0;i=next[i])
if(flow[i]<cap[i]&&dis[v=reach[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,cap[i]-flow[i])))>0)
{
flow[i]+=tmp;
flow[i^1]-=tmp;
return tmp;
}
return 0;
}
int Dinic_flow()
{
int i,delta;
while(Dinic_bfs())
{
for(i=0;i<node;++i)work[i]=head[i];
while((delta=Dinic_dfs(src,oo)))ret+=delta;
}
return ret;
}
bool judge(int a)
{
int b=sqrt(a);
if(b*b==a)
return true;
else return false;
}
int main()
{
int n,i,j,ans,t,tmp,u,v;
while(~scanf("%d",&n))
{
prepare(n+n+2,0,1);
for(i=2;i<=2*n+1;i++)
{
if(i%2==0) addedge(src,i,1);
else addedge(i,dest,1);
}
for(i=2;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<i;j++)
{
if(judge(i+j)) addedge(2*j,2*i+1,1);
}
}
ans=n;
while(ans<=n+Dinic_flow())
{
ans++;
head[u=node++]=-1;
head[v=node++]=-1;
addedge(src,u,1);
addedge(v,dest,1);
for(i=1;i<ans;i++)
if(judge(i+ans)) addedge(i*2,ans*2+1,1);
}
printf("%d\n",ans-1);
}
return 0;
}