生成排列(DFS)

模板

void dfs(int x)
{
    if(到达目的地)
    {
        if(解合法) 
        输出解;
        return;
    }
    for(枚举选择个数)
    {
        if(合法)
        {
            保存结果;
            更改状态;
            dfs(下一步);
            回溯;
        }
    }
}

---

例题

例1

生成k的n维向量(1<=k<=10,1<=n<=6)
n维向量是有n个元素的序对，每数的取值范围从1到k
输入k和n，输出所有k的n维向量
譬如2的3维向量
有{1,1,1}{1,1,2}{1,2,1}{1,2,2}{2,1,1}{2,1,2}{2,2,1}{2,2,2}
譬如3的5维向量
有{1,1,1,1,1}{1,1,1,1,2}{1,1,1,1,3}{1,1,1,2,1}······{3,3,3,3,2}{3,3,3,3,3}
分析
可以把每一次构造的分成n个阶段
一阶段：从k个数中选一个数出来
二阶段：从k个数中选一个数出来
三阶段：从k个数中选一个数出来
·············
n阶段：从k个数中选一个数出来
n个阶段后，就输出解
代码

#include<cstdio>
#define M 5
int ans[M+5],n,k;
void dfs(int x)
{
    if(x>n)//判断是否可以输出解
    {
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        ans[x]=i;//保存结果
        dfs(x+1);//进入下一阶段
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

例2

如果在例1的基础上，在每个方案前加上序号，又该怎么写？
分析
只用加上计数器就可以了，输出序号后，让序号加1；
代码实现如下

#include<cstdio>
#define M 5
int ans[M+5],n,k,cnt;
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        cnt++;//自加
        printf("%d:",cnt);//输出序号
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        ans[x]=i;
        dfs(x+1);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

例3

如果将向量改成1到n的全排列呢？
输入n，输出1到n的全排列
分析
只需加一个check，搜锁即将放的数在之前有没有放过。
代码

#include<cstdio>
#define M 5
int ans[M+5],n,cnt;
bool check(int v,int u)//查找函数
{
    for(int i=1;i<=u;i++)
        if(ans[i]==v)return 0;//如果一样，返回0
    return 1;
}
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(check(i,x))
        {
            ans[x]=i;
            dfs(x+1);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

大家可以试试输入7会发生什么，8呢？9呢？
显然程序“变慢”了，那么该如何解决呢
其实，将用过的数标记就可以了，但回溯时一定改回来
代码如下

#include<cstdio>
#define M 5
int ans[M+5],n,cnt;
bool vis[M+5];
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])//如果没使用过
        {
            vis[i]=true;//标记使用过
            ans[x]=i;
            dfs(x+1);
            vis[i]=false;//记得回溯
        }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

时间肯定快了，但仍然看不出效果，接下来介绍一种最快的算法。
大家发现，每次只用交换两数的位置就可以生成新排列。
交换时注意交换过的不要再交换。所以从当前开始往后交换。
代码实现如下

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 10
int n,cnt,ans[M+5]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};//先把数按从1到n存进去
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=x;i<=n;i++)//与后面的数交换，前面的数交换过
    {
        swap(ans[x],ans[i]);//交换这两个数
        dfs(x+1);
        swap(ans[x],ans[i]);//一定记得交换回来
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

这里提一下，这种算法没有按字典序排，如果题目要求字典序输出，就用第二种。
如例4就需要字典序

例4

输入一个包含 n个非负数的数组，元素可以重复。按字典序输出所有全排列方案，要求不重复。
（1<=n<=10）
看起来复杂，一会重复一会不重复的，但跟前面差不多，只需多定义一个变量las，用来储存当层函数上一次填的数，如果一样，显然重复，就继续往后循环，但别忘了更改las的值
代码如下

#include<cstdio>
#define M 10
int ans[M+5],n,cnt,a[M+5];
bool vis[M+5];
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    int las=-1;//输入非负数，所以las初值为负数
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举n个数
        if(!vis[i]&&las!=a[i])
        {
            vis[i]=true;
            ans[x]=a[i];
            las=a[i];//更改las的值
            dfs(x+1);
            vis[i]=false;
        }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    dfs(1);
    return 0;
}

另一种方法针对每个数范围小
将数字的种类表示出来,这种方法对空间需求较高
代码如下

#include<cstdio>
#define M 10
#define N 50
int ans[M+5],n,cnt,a[M+5];
int c[N+5];//假设每个数不超过50，存每种数可以使用的次数
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",ans[i]);
        printf("%d\n",ans[n]);
        return;
    }
    for(int i=0;i<=N;i++)//枚举数的种类
        if(c[i])
        {
            c[i]--;//使用数
            ans[x]=i;
            dfs(x+1);
            c[i]++;//回收数
        }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        c[a[i]]++;//初始化
    }
    dfs(1);
    return 0;
}

例5

STL标准库中的next_permutation()函数可以生成下一个排列，结合循环就可以将从当前排列开始的所有排列生成出来。所以，使用前往往会先排序，且一般把它放到while()循环当中。（需要头文件algorithm）
代码如下

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;//调用STL函数
#define M 10
int a[M],cnt;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);//生成最小排列(从小到大排序)
    do
    {
        printf("%d:",++cnt);
        for(int i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",a[i]);
        printf("%d\n",a[n]);
    }while(next_permutation(a+1,a+1+n));
    return 0;
}