這是《小波變換和motion信號處理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我進行了基礎知識的鋪墊，第三篇主要講解應用。
在上一篇中講到，每個小波變換都會有一個mother wavelet，我們稱之爲母小波，同時還有一個father wavelet，就是scaling function。而該小波的basis函數其實就是對這個母小波和父小波縮放和平移形成的。縮放倍數都是2的級數，平移的大小和當前其縮放的程度有關。
還講到，小波系統有很多種，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展開的近似形式是這樣：
其中的
就是小波級數，這些級數的組合就形成了小波變換中的基basis。和傅立葉級數有一點不同的是，小波級數通常是orthonormal
basis，也就是說，它們不僅兩兩正交，還歸一化了。
我們還講了一般小波變換的三個特點，就是小波級數是二維的，能定位時域和頻域，計算很快。但我們並沒有深入講解，比如，如何理解這個二維？它是如何同時定位頻域和時域的？
在這一篇文章裏，我們就來討論一下這些特性背後的原理。
首先，我們一直都在講小波展開的近似形式。那什麼是完整形式呢？之前講到，小波basis的形成，是基於基本的小波函數，也就是母小波來做縮放和平移的。但是，母小波並非唯一的原始基。在構建小波基函數集合的時候，通常還要用到一個函數叫尺度函數，scaling function，人們通常都稱其爲父小波。它和母小波一樣，也是歸一化了，而且它還需要滿足一個性質，就是它和對自己本身週期平移的函數兩兩正交：
另外，爲了方便處理，父小波和母小波也需要是正交的。可以說，完整的小波展開就是由母小波和父小波共同定義的。
其中
是母小波，
是父小波。需要提醒一點的是，這個正交純粹是爲了小波分析的方便而引入的特性，並不是說小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實是正交的，所以本文就直接默認正交爲小波變換的主要性質之一了。引入這個父小波呢，主要是爲了方便做多解析度分析（multiresolution
analysis, MRA）。說到這裏，你的問題可能會井噴了：好好的爲什麼出來一個父小波呢？這個scaling function是拿來幹嘛的？它背後的物理意義是什麼？wavelet function背後的物理意義又是什麼？這個多解析度分析又是什麼呢？不急，下面，我們圍繞一個例子來鞏固一下前面的知識，同時再引出新的特性。
假設我們有這樣一個信號：
該信號長度爲8，是離散的一維信號。我們要考慮的，就是如何用小波將其展開。爲了方便講解，我們考慮最簡單的一種小波，哈爾小波。下面是它的一種母小波：
那如何構建基於這個母小波的基呢？剛纔提到了，要縮放，要平移。我們先試試縮放，那就是ψ(2n)：
但這樣的話，它與自己的內積就不是1了，不符合小波基orthonormal的要求，所以我們要在前面加一個係數根號二，這樣我們就得到了另一個哈爾小波的basis function：
同理，我們可以一直這樣推廣下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。當然在這個例子裏，我們信號長度就是8，所以做到4n就夠了。但推廣來說，就是這種scaling對母小波的作用爲
，這是歸一化後的表示形式。
平移的話也很簡單，我們可以對母小波進行平移，也可以對scale之後的basis function進行平移。比如對上一幅圖中的basis function進行平移，就成了
看得出來，平移後的basis function和母小波以及僅僅scale過的小波，都是正交的，附合小波basis的特點。如果我們用ψ(n)來表示這個mother wavelet，那麼這些orthonormal basis函數可以寫成：
這裏的k是可以看成時域的參數，因爲它控制着小波基時域的轉移，而j是頻域的參數，因爲它決定了小波基的頻率特性。看到這裏，你應該會感覺很熟悉，因爲這裏的平移和變換本質和剛纔對scaling function的平移變換是一模一樣的。
這樣，我們就有了針對此信號space的哈爾小波basis組合：
圖1
可以看出，我們用到了三層頻率尺度的小波函數，每往下一層，小波的數量都是上面一層的兩倍。在圖中，每一個小波基函數的表達形式都寫在了波形的下面。
等等，你可能已經發現了，有問題。這裏爲什麼多了個沒有函數表達式的波形呢？這貨明顯不是wavelet function阿。沒錯，它是之前提到的scaling function，也就是父小波。然後你可能就會問，爲啥這個憑空插了一個scaling function出來呢？明明目標信號已經可以用純的小波基組合表示了。是，確實是，就算不包括scaling function，這些小波函數本身也組成了正交歸一基，但如果僅限於此的話，小波變換也就沒那麼神奇的功效了。引入這個scaling function，才能引入我們提到的多解析度分析的理論，而小波變換的強大，就體現在這個多解析度上。那在這裏，我們怎麼用這個多解析度呢？這個哈爾小波basis組合是怎麼通過多解析度推導出來的呢？
話說在數學定義中，有一種空間叫Lebesgue空間，對於信號處理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可積函數所組成的函數空間。我們在小波變換中要研究的信號都是屬於L^2(R)空間的，這個空間是R上的所有處處平方可積的可測函數的集合，這樣就等於對信號提出了一個限制，就是信號能量必須是有限的，否則它就不可積了。小波變換的定義都是基於但不限於L^2(R)中的信號的。這玩意的特性要具體解釋起來太數學了，牽涉到太多泛函知識，我就不在這裏詳述了。而且老實說我也沒能力完全講清楚，畢竟不是學這個的，有興趣可以參考wiki。總之你記住，小波變換研究中所使用的信號基本都是平方可積的信號，但其應用不限於這種信號，就行了。
對L^2(R)空間做MRA是在幹嘛呢？就是說，在L^2(R)空間中，我們可以找出一個嵌套的空間序列
，並有下列性質：
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
(v) 有這樣一個方程,
是
的orthonormal basis。
我來簡單解釋一下這些性質。這個V_j都是L^2(R)空間中的子空間，然後他們是由小到大的，交集是{0}，因爲這是最小的子空間，並集就是L空間。是不是有點難以理解？沒關係，看看下面這個圖就清楚了：
這個圖是圈圈套圈圈，最裏面的圈是V0，之後分別是V1，V2，V3，V4 。那他們有趣的性質就是，假如有一個函數f(t)他屬於一個某空間，那你將其在時域上平移，它還是屬於這個空間。但如果你對它頻域的放大或縮小，它就會相應移到下一個或者上一個空間了。
同時我們還知道，你要形容每一個空間的話，都需要有對應的orthonormal basis，這是必然的，那對於V0來講，它的orthonormal basis就是
這一系列函數是什麼呢？是的時域變換，而且我們剛纔也說了，時域上平移，是不會跳出這個空間的。這樣，我們就可以說，由這一系列basis所定義的L^2(R)子空間V0被這些basis所span，表示成：
k從負無窮到正無窮。上面的bar表示這是一個閉包空間，也就是說
這樣，我們就定義了基本的V0這個子空間。剛纔說了，這個子空間的基都是對的整數時域變換，這裏我們稱爲scaling
function，所以換個說法，就是說這裏整個子空間V0，由scaling function和其時域變換的兄弟們span。
當然，如果這個scaling function只是用來代表一個子空間的，那它的地位也就不會這麼重要了。剛纔我們提到，這個嵌套空間序列有一個性質，。這就是這個函數，如果你對它頻域的放大或縮小，它就會相應移到下一個或者上一個空間了。這個性質就有意思了，它代表什麼呢？對於任何一個包含V0的更上一層的空間來講，他們的基都可以通過對scaling
function做頻域的scale後再做時域上的整數變換得到！推廣開來就是說，當
我們有
這也就意味着，對於任何屬於V_j空間的函數f(t)，都可以表示爲：
到這裏，我們就明白這些個子空間和那個憑空冒出來的scaling function的作用了。scaling的構建這些不同的子空間的基礎，當j越大的時候，每一次你對頻率變換後的scaling function所做的時域上的整數平移幅度會越小，這樣在這個j子空間裏面得到的f(t)表示粒度會很細，細節展現很多。反之亦然。通俗點說，就是對scaling function的變換平移給你不同的子空間，而不同的子空間給你不同的分辨率，這樣你就可以用不同的分辨率去看目標信號。
下面就是時候看看什麼是MRA equation了，這是更加有趣，也是更加核心的地方。通過剛纔的講解，V0屬於V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我們把他寫成V1的基的線性組合，那就是
其中的h(n)是scaling function的係數，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是實數，也可以是虛數。根號2是爲了維持norm爲1的。看，在這個公式裏，我們就把屬於V0的函數用V1的基表示出來了。同理，我們可以循環如此，把屬於V0的在V2,
V3, …, Vn中表示出來。這些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理論的基礎，也是小波分析的基礎之一。
好，稍微總結一下。到現在，已經講了關於scaling function的基本理論知識，知道了信號空間可以分爲不同精細度的子空間，這些子空間的basis集合就是scaling function或者頻率變換之後的scaling function，如下圖所示：
上圖就是四個子空間的basis集合的展覽。通過前面的討論，我們還知道，一開始的scaling function可以通過更精細的子空間的scaling function（它們都是對應子空間的basis）來構建。比如
對於更加finer的scale：
圖2
依此類推。實際上，對於任何scale和translate過的scaling function，都可以用更加精細的scale層面上的scaling function構建出來。
然後，我們有各種scale下的scaling function了，該看看它們分別所對應的嵌套的空間序列了。先看看V0，自然就是以基本的scaling
function爲基礎去span出來的：
這個不新鮮，剛纔就講過了。這個子空間代表什麼樣的信號？常量信號。道理很簡單，這個scaling function在整個信號長度上，沒有任何變化。繼續往下看：
這個相比V0更加finer的子空間，代表着這樣一種信號，它從1-4是常量，從5-8是另一個常量。同理我們有：
V2代表的信號，是分別在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信號。那麼V3呢？則表示任何信號，因爲對於V3來講，任何一個時間刻度上的值都可以不一樣。而且現在，我們也可以通過上面的一些scaling functions的波形驗證了之前提到的多解析度分析中的一個核心性質，那就是：
我們之前講了一堆多解析度的理論，但直到現在，通過這些圖形化的分析，我們可能纔會真正理解它。那好，既然我們有一個現成的信號，那就來看看，對這個信號作多解析度分析是啥樣子的：
你看，在不同的子空間，對於同一個信號就有不同的詮釋。詮釋最好的當然是V3，完全不損失細節。這就是多解析度的意義。我們可以有嵌套的，由scaling function演變的basis function集合，每一個集合都提供對原始信號的某種近似，解析度越高，近似越精確。
說到這裏，可能你對scaling function以及多解析度分析已經比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們在小波變換中的具體應用，也就是還沒有回答剛纔那個問題：憑空插了一個scaling function到小波basis組合中幹嘛。也就是說，我們希望理解scaling function是怎麼和小波函數結合的呢，多解析度能給小波變換帶來什麼樣的好處呢。這其實就是是小波變換中的核心知識。理解了這個，後面的小波變換就是純數學計算了。
好，我們已經知道，對於子空間V0，basis是scaling function：
對應的小波函數是：
然後子空間V1的basis集合是這倆哥們：
看出什麼規律了麼？多看幾次這三個圖，你會驚訝地發現，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實就是V1中的basis！繼續這樣推導，V1本來的的basis是：
然後V1中對應的wavelet function是
他們的組合，本質上也就是V2的basis（參考圖2）。你繼續推導下去，會得到同樣的結論：在scale j的wavelet function，可以被用來將Vj的basis擴展到V(j+1)中去！這是一個非常非常關鍵的性質，因爲這代表着，對任何一個子空間Vj，我們現在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：
1. 一種就是它本來的basis 
，對任意k。
2. 第二種就是它上一個子空間的basis
，對任意k，以及上一級子空間的wavelet
function 
，對任意k。
第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以循環不斷地用上一級子空間的scaling function以及wavelet function的組合來作爲當前子空間的基。換句話說，如果針對V3這個子空間，它實際上就有四種不同的，但是等價的orthonormal basis：
1. 本級(V3)的scaling function basis set
2. 上一級(V2)的scaling function + wavelet function;
3 . 上上一級(V1)的scaling function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function;
4. 上上上一級(V0)的scaling function + 上上上一級(V0)的wavelet function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function
好，看看最後一種選取方式，有沒有感到眼熟？對了，它就是我們之前提到的“針對此信號space的哈爾小波basis組合”，參見圖1。現在我們知道了，這個scaling function不是憑空插進去的，而是通過不斷的嵌套迭代出來的：）
那爲什麼我們最後選定的是這種選取方式呢？實際上，剛纔介紹的這個性質已經告訴我們，對於任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個basis是通過組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>=j0上的wavelets得到的。這樣，基於這個orthonormal basis，所有信號空間中的信號都可以寫成組成這個basis的functions的線性組合：
對應的係數的計算和平常一樣：
這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個基礎流程：
1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號中，反算出係數c和d。
2. 對係數做對應處理
3. 從處理後的係數中重新構建信號。
這裏的係數處理是區別你的應用的重點。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數中的小波，然後拋棄那些能量很小的小波係數，只保留少數的這些大頭係數，再反變換回去。這樣的話，圖像信號的能量並沒有怎麼丟失，圖像體積卻大大減小了。
還有一個沒有解釋的問題是，爲什麼要強調尺度函數和小波函數組成一個orthonormal basis呢？計算方便是一方面，還有一個原因是，如果他們滿足這個性質，就滿足瑞利能量定理，也就是說，信號的能量，可以完全用每個頻域裏面的展開部分的能量，也就是他們的展開係數表示：
到這裏，我們對小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡單的哈爾小波爲例子，但舉一反三即可。我們着重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手鐗：時域頻域同時定位。結束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛纔例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作爲例子：
左邊這四個basis組成元素，也就是scaling functions，的係數，表徵的是信號的local平均（想想它們和信號的內積形式），而右邊的這四個basis組成元素，也就是wavelet functions，的係數則表徵了在local平均中丟失的信號細節。得益於此，多解析度分析能夠對信號在越來越寬的區域上取平均，等同於做低通濾波，而且，它還能保留因爲平均而損失的信號細節，等同於做高通濾波！這樣，我們終於可以解釋了wavelet function和scaling function背後的物理意義了：wavelet function等同於對信號做高通濾波保留變化細節，而scaling function等同於對信號做低通濾波保留平滑的shape！
對小波變換的基礎知識，我們就講到這裏。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識，但也是最核心的知識。掌握了這些，代表你對小波變換的物理意義有了一定的瞭解。但對於小波變換本身的講解，一本書都不一定能將講透，還有很多的基礎知識我都沒有講，比如如何構建自己的scaling function，選取合適的係數集h[k]，並由此構建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學，好好買一本書來看吧。而只是希望用小波變換來服務自己的應用的同學，個人覺得這些知識已經足夠讓你用來起步了。