數學歸納法

(一)第一數學歸納法:

   一般地,證明一個與自然數n有關的命題P(n),有如下步驟:
 (1)證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值爲0或1,但也有特殊情況;
 (2)假設當n=k(k≥n0,k爲自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。綜合(1)(2),對一切自然數n(≥n0),命題P(n)都成立。

(二)第二數學歸納法:

 對於某個與自然數有關的命題P(n),
 (1)驗證n=n0時P(n)成立;
 (2)假設n0≤n<=k時P(n)成立,並在此基礎上,推出P(k+1)成立。綜合(1)(2),對一切自然數n(≥n0),命題P(n)都成立。

(三)倒推歸納法(反向歸納法):

  (1)驗證對於無窮多個自然數n命題P(n)成立(無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數,如對於算術幾何不等式的證明,可以是2^k,k≥1);
 (2)假設P(k+1)(k≥n0)成立,並在此基礎上,推出P(k)成立, 綜合(1)(2),對一切自然數n(≥n0),命題P(n)都成立;

(四)螺旋式歸納法

  對兩個與自然數有關的命題P(n),Q(n),
 (1)驗證n=n0時P(n)成立;
 (2)假設P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假設 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立;綜合(1)(2),對一切自然數n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。
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