最長上升子序列（LIS）問題

最長上升子序列（LIS）問題

此處我們只討論嚴格單調遞增的子序列求法。

前面O（n2） 的算法我們省略掉，直接進入O（nlgn） 算法。

方法一：dp + 樹狀數組

定義dp[i]：末尾數字是i時最長上升子序列

轉移方程：dp[i]=max{dp[k]|k<i}+1

代碼如下：

@Frosero
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 100010

using namespace std;

int tree[MAXN*4];

int read(int pos){
    int ans = 0;
    while(pos > 0){
        ans = max(ans,tree[pos]);
        pos -= pos & -pos;
    }
    return ans;
}

void updata(int pos,int val){
    while(pos < MAXN*4){
        tree[pos] = max(tree[pos],val);
        pos += pos & -pos;
    }
}

int a[MAXN],n,dp[MAXN],ans = 0;

int  main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[a[i]] = read(a[i] - 1) + 1;
        updata(a[i],dp[a[i]]);
        ans = max(ans,dp[a[i]]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

方法二：dp + 單調隊列

定義dp[i]：末尾數字是下標爲i的數字時最長上升子序列

定義單調隊列g[i]：上升子序列長度爲i時最後一位的最小值

代碼如下：

@Frosero
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;


int a[MAXN],n,dp[MAXN],g[MAXN],ans = 0;

int  main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++) g[i] = INF;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int k = lower_bound(g+1,g+n+1,a[i]) - g;
        dp[i] = k;
        g[k] = a[i];
        ans = max(ans,k);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

方法三：單調隊列

定義單調隊列g[i]：上升子序列長度爲i時最後一位的最小值

代碼如下：

@Frosero
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;


int a[MAXN],n,g[MAXN],ans = 0;

int  main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++) g[i] = INF;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int k = lower_bound(g+1,g+n+1,a[i]) - g;
        g[k] = a[i];
        ans = max(ans,k);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

囧，相信大家也發現了第二個算法中dp數組事實上貌似並沒有什麼用了吧。但事實上他在過程中爲我們維護了一些信息，在某些習題中我們恰好就要利用到他們了。

還有一點就是如果我們要尋找最長單調不減子序列，上面代碼只要稍微更改一下即可，請讀者自己思考吧，哈哈 ^.^ 加油！