自適應辛普森公式求積分

自適應辛普森公式求積分

假設我們求以下積分：

∫baf(x)dx

比較特殊的情況，就是可以推導出來最後的形式。但是比較一般的情況是，我們只能大致得到一個XY 座標系裏的曲線，我們求的就是曲線和X 軸所圍成的面積。

因此我們有自適應辛普森公式，他會根據實際情況來自動的調整精度。

它的大致過程就是，給定一個要求達到的精度eps，算法就會根據實際情況遞歸的劃分區間。容易近似的地方少劃分，不容易近似的地方多劃分幾份。

具體來講，我們在以下情況下直接返回結果,否則遞歸劃分區間：

|S(a,c)+S(c,b)−S(a,b)|<15∗eps

代碼如下：

@Frosero
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

double F(double x){     //這裏自定義函數
    return x * x + x;
}

double simpson(double a,double b){  //返回區間[a,b]的三點辛普森值
    double c = a + (b - a) / 2.0;
    return (F(a) + 4 * F(c) + F(b)) * (b - a) / 6.0;
}

double asr(double a,double b,double eps,double A){  //自適應辛普森遞歸過程
    double c = a + (b - a) / 2.0;                   //A爲區間[a,b]的三點辛普森值
    double L = simpson(a,c), R = simpson(c,b);
    if(fabs(L + R - A) <= 15 * eps) return L + R + (L + R - A) / 15.0;
    return asr(a,c,eps/2.0,L) + asr(c,b,eps/2.0,R);
}

double asr(double a,double b,double eps){   //自適應辛普森主過程
    return asr(a,b,eps,simpson(a,b));
}

int main(){
    cout<<asr(0,1,0.000001)<<endl;  //測試
    cout<<5.0/6<<endl;              //對比
    return 0;
}

它的證明比較複雜，本着爲廣大讀者減小壓力的目標，我就不在這裏囉嗦啦！ （其實我也不會）