一、問題由來
昨晚羣裏一網友發表一組合問題，一開始以爲他要從1~160正整數中取9個出來，這樣的組合有多少種。他一問有這麼多組合嗎？重新看了一遍問題，又以爲是把1~160分成9組，這樣的組合有多少種。 (⊙﹏⊙)b 後跟他交流後才明白他的意思。
用通俗一點的語言重新表達下問題：從1~160正整數中取9個數（數值可一樣），分別給9個人，使9個人的數值總和爲160。請問這樣的組合有多少個？
二、個人分析
第一反應，數據那麼大，肯定是寫個程序去處理。
首先排除153以上的數字，使用遍歷法，把1~152從小到大依次給前8個人。如果前8個人的數值總和sum小於160，第9個人的數值肯定是160-sum，這樣的組合便爲一種組合。
在寫程序的時候，使用的是遞歸算法。爲了加快處理，每個人提取數字時的循環遍歷最大值imax做了一個限制。因爲每個人都會提取一個數字，最小值爲1，所以第x個人的imax值等於160減去前x-1個數值總和，再減去後面剩餘人的個數，即imax = 160 – sum(x-1) – (9 – x)。這樣就不用再去遍歷總和超過160的數字了（可以看出，這些組合數比我們要算的大的多）。下面是用的C語言寫的，下標是從0開始。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VALUE 160
#define MAX_GROUP 9
double count = 0;
int a[MAX_GROUP];
void ResultDisplay()
{
int i;
printf("%12.0f: ", count);
for(i=0;i<MAX_GROUP;i++)
printf("%3d ",a[i]);
printf("\n");
}
int Combination(int sum, int n)
{
int i=1;
if( sum>=MAX_VALUE)
return -1;
if(n == MAX_GROUP - 1){
a[n] = MAX_VALUE - sum;
count++;
ResultDisplay();
return 0;
}
for(i=1; i<=MAX_VALUE - sum - (MAX_GROUP - 1 - n);i++){
a[n] = i;
Combination(sum+i, n+1);
}
}
int main(int argc, char **argv)
{
Combination(0,0);
system("pause");
return (0);
}
用我的本本運行了一分鐘，結果如下：
組合數已達到3萬多，但前5個人還是1。這裏打印耗了很多時間，如果去掉打印，結果會快N倍。去掉後運行過半小時（運行起來後，本本的風扇一直處於高速轉動的狀態，擔心古董受不鳥，所以運行幾分就暫停一小會），通過監視看到組合數達到300多億，但第1個人的數還是1，第2個人的數字也沒超過2（忘了截圖，印象中還是1）。看到這樣真正的天文數字，沒敢再繼續運行下去了，但由此推斷出組合數肯定超1000億。
PS：昨晚在羣裏回覆說組合數肯定超1000億。一位羣管理員表現出一副很不屑和被我忽悠的樣子（“1000億？別瞎我，我輸讀的少”）。一向認爲羣管理的話會比較穩重，再說這是一個技術羣。你可以懷疑我說的，我們可以一起討論驗證，但你說這樣諷刺和挑釁的話，對於我來說，最好的反駁就是拿出證據放羣裏給他看。在打印處加了個條件中斷，從99999999990（差10就1000億）開始打印。運行了近兩個小時的時間，結果終於出來了，當時已經晚上1點了，立馬編輯好文字，給他回覆了過去。
1000億，第1個人還是1，零頭可能都還沒達到呢。。。
以上爲插曲，迴歸正題。此數學問題提出的時候，最長運行時間僅半小時，即300多億。當時就想有沒有一個公式，能直接用公式把組合數算出來。爲了直觀點，就在Excel裏做了幾個簡單點的組合，看能否找到規律和思路。如：5分爲2，5分爲3，5分爲4，8分爲4。
一開始從後面開始找規律，最後一個不用看，就看最後兩個，發現如果前面所有的數之和固定，那最後兩個數的和也是固定的（這是廢話），那組合數爲最後兩個數之和，再減1。這應該很好理解，假設最後兩個數之和爲y，那組合分別爲(1, y-1), (2, y-2), … , (y-1,1)，共y-1個。再倒數第三位數在遞增的時候，y在遞減。看上去很有規律，但仔細去找的時候卻發現都是一些等差數列的疊加啊。
換個方向吧，從前面開始找找看。如上圖，8分爲4中，把第1人給不同數時的組合數給列出來了。把它的公式寫出來後，發現僅適合8分爲4這個組合方式，其他的都算不出正確答案。
這時，想到高中時統計學的統計方法（好像是統計學吧？），就是找到第n個與n-1個的關係。
【以爲文本內容含很多博客編輯器無法顯示的公式，都將使用圖片】
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VALUE 100
#define MAX_GROUP 7
double KCombination(int m, int n)
{
double sum=0;
int i=0;
if(m<n){
printf("Error!\n");
return (-1);
}
if(m==n)
return (1);
if(n==2)
return (m-1);
if(n==1)
return (1);
for(i=m-1;i>=n-1;i--){
sum += KCombination(i,n-1);
}
return sum;
}
int main(int argc, char **argv)
{
printf("the number of the method of combination is: %.0f\n",KCombination(MAX_VALUE,MAX_GROUP));
system("pause");
return(0);
}
