二叉排序树详解

       二叉排序树(Binary Sort Tree或Binary Search Tree) 的定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足下列性质的二叉树。

(1) ：若左子树不为空，则左子树上所有结点的值(关键字)都小于根结点的值；

(2) ：若右子树不为空，则右子树上所有结点的值(关键字)都大于根结点的值；

(3) ：左、右子树都分别是二叉排序树。

       结论：若按中序遍历一棵二叉排序树，所得到的结点序列是一个递增序列。

                   BST仍然可以用二叉链表来存储

节点结构定义如下：

struct BiTNode 
{
	int data;
	struct BiTNode *lchild,*rchild;
};
typedef struct BiTNode BiTNode,*biTree;

一、二叉排序树的查找

      

1  查找思想

      首先将给定的K值与二叉排序树的根结点的关键字进行比较：若相等：则查找成功；

①给定的K值小于BST的根结点的关键字：继续在该结点的左子树上进行查找；

②   给定的K值大于BST的根结点的关键字：继续在该结点的右子树上进行查找。

2 代码实现

biTree SearchBST(biTree T,int key)
{
	//在根指针T所指的二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素
	//若查找成功，则返回指向数据元素节点的指针，否则，返回空指针
	if (T==NULL)
	{
		return NULL;
	}
	else
	{
		if (key==T->data)
		{
			return T;
		}
		else if (key<T->data)
		{
			return (SearchBST(T->lchild,key));
		}
		else
		{
			return(SearchBST(T->rchild,key));
		}
	}

}

二、插入

1，插入思想

在BST树中插入一个新结点x时，若BST树为空，则令新结点x为插入后BST树的根结点；否则，将结点x的关键字与根结点T的关键字进行比较：

①若相等：不需要插入；

②  若x.key<T->key：结点x插入到T的左子树中；

③  若x.key>T->key：结点x插入到T的右子树中

2，代码实现

void  InsertBST (biTree &T , int key)
{	

	
	if (T==NULL)
	{
		biTree x;
		x=new BiTNode;
		x->data=key;
		x->lchild=x->rchild=NULL;
		T=x;
		cout<<"插入成功\n";
	}
	else
	{
		if (T->data==key)
		{
			cout<<"节点已存在\n"<<endl;
		}
		else if (key<T->data)
		{
			InsertBST(T->lchild,key);
		}
		else
		{		
			InsertBST(T->rchild,key);
		}
	}
	
}

三、删除

1，删除思想

从BST树上删除一个结点，仍然要保证删除后满足BST的性质。设被删除结点为p，其父结点为f ，删除情况如下：

①  若p是叶子结点：直接删除p，如图9-5(b)所示。

②  若p只有一棵子树(左子树或右子树)：直接用p的左子树(或右子树)取代p的位置而成为f的一棵子树。即原来p是f的左子树，则p的子树成为f的左子树；原来p是f的右子树，则p的子树成为f的右子树

③ 若p既有左子树又有右子树：处理方法有以下两种，可以任选其中一种。

◆  用p的直接前驱结点代替p。即从p的左子树中选择值最大的结点s放在p的位置(用结点s的内容替换结点p内容)，然后删除结点s。s是p的左子树中的最右边的结点且没有右子树，对s的删除同②，如图9-5(e)所示。

◆用p的直接后继结点代替p。即从p的右子树中选择值最小的结点s放在p的位置(用结点s的内容替换结点p内容)，然后删除结点s。s是p的右子树中的最左边的结点且没有左子树，对s的删除同②

2，代码实现

int dele(biTree &p)
{
	biTree q,s;
	if (p->lchild==NULL)
	{
		q=p;
		p=p->lchild;
		delete q;
	}
	else if (p->rchild==NULL)
	{
		q=p;
		p=p->rchild;
		delete q;
	}
	else
	{
		q=p;
		s=p->lchild;
		while(s->rchild)
		{
			q=s;
			s=s->rchild;
		}
		p->data=s->data;
		if (q!=p)
		{
			q->rchild=s->lchild;
		}
		else
		{
			q->lchild=s->lchild;
		}
		delete s;

	}
	return 1;
	
}
int deleteBTree(biTree &T,int num)
{
	if (T==NULL)
	{
		return 0;
	}
	else
	{
		if (num==T->data)
		{
			return dele(T);
		}
		else if (num<T->data)
		{
			return deleteBTree(T->lchild,num);
		}
		else
		{
			return deleteBTree(T->rchild,num);
		}
		
	}
}

四、前序中序后序遍历

void middVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
		middVisit(T->lchild);
		cout<<T->data<<"  ,  ";
		middVisit(T->rchild);
	}

}
void firstVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
		cout<<T->data<<"  ,  ";
		firstVisit(T->lchild);
		firstVisit(T->rchild);
	}
}
void lastVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
	
		lastVisit(T->lchild);
		lastVisit(T->rchild);
		cout<<T->data<<"  ,  ";
	}
}

五、构建

利用BST树的插入操作，可以从空树开始逐个插入每个结点，从而建立一棵BST树

biTree CreateTree()
{
	biTree T=NULL;
	int num=0;
	cout<<"请输入一次插入的值：";
	cin>>num;
	while (num!=-1)
	{
		InsertBST(T,num);
		cout<<"下一个插入的值(-1结束):";
		cin>>num;
	}
	cout<<"二叉树建立完成\n";
	return T;
}

六、运行程序

#include"iostream"
using namespace std;

struct BiTNode 
{
	int data;
	struct BiTNode *lchild,*rchild;
};
typedef struct BiTNode BiTNode,*biTree;

/******************************************
函数名：biTree SearchBST(biTree T,int key)
功能：当二叉树不空时将搜索值与根节点的关键字进行比较，若相等
查找成功，否则根据二者大小关系，分别在左子树和右子树上继续进行查找
******************************************/
biTree SearchBST(biTree T,int key)
{
	//在根指针T所指的二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素
	//若查找成功，则返回指向数据元素节点的指针，否则，返回空指针
	if (T==NULL)
	{
		return NULL;
	}
	else
	{
		if (key==T->data)
		{
			return T;
		}
		else if (key<T->data)
		{
			return (SearchBST(T->lchild,key));
		}
		else
		{
			return(SearchBST(T->rchild,key));
		}
	}

}

/******************************************
函数名：void  InsertBST (biTree T , int key)
功能：在BST树中插入一个新结点x时，若BST树为空，
则令新结点x为插入后BST树的根结点；
否则，将结点x的关键字与根结点T的关键字进行比较： 
① 若相等： 不需要插入；
②  若x.key<T->key：结点x插入到T的左子树中；
③  若x.key>T->key：结点x插入到T的右子树中。
由结论知，对于一个无序序列可以通过构造一棵BST树
而变成一个有序序列。
由算法知，每次插入的新结点都是BST树的叶子结点，
即在插入时不必移动其它结点，仅需修改某个结点的指针。

******************************************/
void  InsertBST (biTree &T , int key)
{	

	
	if (T==NULL)
	{
		biTree x;
		x=new BiTNode;
		x->data=key;
		x->lchild=x->rchild=NULL;
		T=x;
		cout<<"插入成功\n";
	}
	else
	{
		if (T->data==key)
		{
			cout<<"节点已存在\n"<<endl;
		}
		else if (key<T->data)
		{
			InsertBST(T->lchild,key);
		}
		else
		{		
			InsertBST(T->rchild,key);
		}
	}
	
}
/***************************************
函数名称:biTree CreateTree()
功能:构建二叉树
***************************************/
biTree CreateTree()
{
	biTree T=NULL;
	int num=0;
	cout<<"请输入一次插入的值：";
	cin>>num;
	while (num!=-1)
	{
		InsertBST(T,num);
		cout<<"下一个插入的值(-1结束):";
		cin>>num;
	}
	cout<<"二叉树建立完成\n";
	return T;
}

int dele(biTree &p)
{
	biTree q,s;
	if (p->lchild==NULL)
	{
		q=p;
		p=p->lchild;
		delete q;
	}
	else if (p->rchild==NULL)
	{
		q=p;
		p=p->rchild;
		delete q;
	}
	else
	{
		q=p;
		s=p->lchild;
		while(s->rchild)
		{
			q=s;
			s=s->rchild;
		}
		p->data=s->data;
		if (q!=p)
		{
			q->rchild=s->lchild;
		}
		else
		{
			q->lchild=s->lchild;
		}
		delete s;

	}
	return 1;
	
}
int deleteBTree(biTree &T,int num)
{
	if (T==NULL)
	{
		return 0;
	}
	else
	{
		if (num==T->data)
		{
			return dele(T);
		}
		else if (num<T->data)
		{
			return deleteBTree(T->lchild,num);
		}
		else
		{
			return deleteBTree(T->rchild,num);
		}
		
	}
}
void middVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
		middVisit(T->lchild);
		cout<<T->data<<"  ,  ";
		middVisit(T->rchild);
	}

}
void firstVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
		cout<<T->data<<"  ,  ";
		firstVisit(T->lchild);
		firstVisit(T->rchild);
	}
}
void lastVisit(biTree T)
{
	if (T==NULL)
	{
		;
	}
	else
	{
	
		lastVisit(T->lchild);
		lastVisit(T->rchild);
		cout<<T->data<<"  ,  ";
	}
}
int main()
{
    biTree T=CreateTree();
	cout<<"中序遍历结果：\n";
	middVisit(T);
	cout<<endl;
	cout<<"前序遍历结果：\n";
	firstVisit(T);
	cout<<endl;
	cout<<"后序遍历结果：\n";
	lastVisit(T);
	cout<<endl;

	deleteBTree(T,7);
	cout<<"中序遍历结果：\n";
	middVisit(T);
	cout<<endl;
    return 0;
}

七 、运行结果