題面
皮卡丘的夢想
Time Limit: 1000ms Memory limit: 65536K題目描述
一天，一隻住在 501 的皮卡丘決定發奮學習，成爲像 LeiQ 一樣的巨巨，於是他向鎮上的賢者金桔請教如何才能進化成一隻雷丘。
金桔告訴他需要進化石才能進化，並給了他一個地圖，地圖上有 n 個小鎮，並且標註了每個小鎮上可收集的進化石。
但是皮卡丘拿到地圖就蒙圈了，他可不知道自己到底需要哪種進化石，而且由於經費有限，他只能去某幾個相鄰的小鎮，所以他機智地找到了善於編程的你，詢問你這些鎮上可收集的進化石有哪些，然後再自己決定行程。輸入
首先輸入一個整數 T (1 <= T <= 10)，代表有 T 組數據。
每組數據的第一行輸入一個整數 n (1 <= n <= 100000)，代表有 n 個小鎮。
接下來的 n 行表示第 1 個到第 n 個的小鎮的信息。每行先輸入一個整數 m (0 <= m <= 30)，代表這個小鎮上進化石的種類數，緊接着輸入 m 個整數，代表進化石的種類編號（編號從 1 開始，不超過 30）。
之後的一行輸入一個整數 q (1 <= q <= 25000)，代表皮卡丘有 q 次詢問。 接下來的 q 行每行輸入兩個整數 l, r (1 <= l <= r <= n)，表示他想詢問從第 l 個到第 r 個小鎮上可收集的進化石有哪幾種。輸出
對於每組輸入，首先輸出一行 “Case T:”，表示當前是第幾組數據。
接下來對於每一次詢問，按編號升序輸出所有可收集的進化石。如果沒有進化石可收集，則輸出一個小豪的百分號 “%”（不要問我爲什麼，出題就是這麼任性）。示例輸入
1
3
2 3 10
3 1 2 4
0
3
1 2
2 3
3 3示例輸出
Case 1:
1 2 3 4 10
1 2 4
%提示
來源
bLue
解題思路
作爲大一小學弟一枚，第一次在學校 OJ 上出題，還連上了三道（3511、3512、3513，推薦大家都去做做），感覺好方啊，還好有 raincloud 老師和 LeiQ 學長幫忙。
言歸正傳，這道題一看就是很裸的區間查詢（畢竟弱弱一枚，只能出這種難度的題了QAQ～），很容易想到要用線段樹（不會的童鞋們抓緊去學吧，有一點樹的基礎就很容易入門）。當然肯定不能就這樣算了，爲了讓題目中的「皮卡丘」同學火一把，肯定要增加一些難度，於是便有了查詢區間內進化石有哪幾種的設定，所以如果只用線段樹，在每次查詢的時候照舊遍歷所有進化石的話還是會超時的（怪我咯）。這時我們就需要更高效的方法來存儲和查詢所有進化石的狀態，這種方法就是利用二進制表示存在狀態。
我們用二進制數的每一位來表示每種進化石的有無，也即該小鎮進化石的存在狀態。舉個栗子，對於有 1、4 號進化石的小鎮，我們可以用二進制數 1001 來表示。它的含義是：從右向左依次表示第 1 個到第 n 個進化石的有無，1 表示有，0 表示無。而且很容易想到，由於每一位只有 0 或 1 兩種可能，且每一位都對應固定的編號，所以對於任意一個二進制數，都能保證唯一對應一種存在狀態。
解決了如何表示存在狀態的問題，下一步就是如何存儲了。再舉個栗子，當前我們的進化石存在狀態爲：1、4，對應二進制 1001，如果我們加入一個 3 號進化石，則應變爲 1101，也就是讓倒數第三位變成 1。這裏需要用到位運算（沒學過的趕快去學）：對於 1001，我們讓它與 0100（只含有 3 號石的狀態）進行或運算，即兩數對應的位有一個或兩個爲 1 時結果爲1，否則爲 0，運算結果爲 1101。這樣我們使用或運算就可以實現兩個狀態的合併。至於如何表示單個進化石的狀態，很簡單，使用左移運算就可以了，慄如：表示 3 號石存在，只需將 1（0001）左移 3-1=2 位即得到 0100。
這樣，我們只需要把二進制和線段樹結合一下就可以愉快地告別 TLE 了。在存儲時，每一個結點都表示它的左右子結點的合併狀態，即對左右子結點進行或運算後的結果，而葉結點直接存儲狀態。在查詢時，只需要遍歷結果對應二進制的每一位來輸出即可。
這樣我們就可以寫出本題的代碼了：
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX = 100001;
int st[MAX<<2];
void Initialize();
void Update(int node, int l, int r, int index, int value);
int Query(int node, int l, int r, int il, int ir);
int main(int argc, char const *argv[]) {
int t, n, m, q, l, r;
scanf("%d", &t);
for(int i=1; i<=t; ++i) {
printf("Case %d:\n", i);
scanf("%d", &n);
Initialize();
for(int j=1; j<=n; ++j) {
scanf("%d", &m);
int binary = 0, idx;
while(m--) {
scanf("%d", &idx);
//每讀入一個編號，更新一次狀態
binary |= 1<<(idx-1);
}
//在線段樹中更新此下標的狀態
Update(1, 1, n, j, binary);
}
scanf("%d", &q);
while(q--) {
scanf("%d %d", &l, &r);
int res = Query(1, 1, n, l, r);
int digit = 1;
bool is_first = true;
//遍歷狀態來輸出存在的進化石編號
while(res) {
//如果當前狀態的最後一位爲1，則輸出
if(res & 1) {
if(is_first) is_first = false;
else printf(" ");
printf("%d", digit);
}
//判斷完一位，右移刪掉最後一位
res >>= 1;
digit++;
}
if(digit == 1) printf("%%");
printf("\n");
}
}
return 0;
}
void Initialize() {
memset(st, 0, sizeof(st));
}
void Update(int node, int l, int r, int index, int value) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(l == r) {
st[node] |= value;
return;
}
if(index <= mid)
Update(node<<1, l, mid, index, value);
else
Update(node<<1|1, mid+1, r, index, value);
//更新爲左右子結點的合併狀態
st[node] = st[node<<1] | st[node<<1|1];
}
int Query(int node, int l, int r, int il, int ir) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(l == il && r == ir)
return st[node];
if(ir <= mid)
return Query(node<<1, l, mid, il, ir);
else if(il > mid)
return Query(node<<1|1, mid+1, r, il, ir);
else
//跨區間查詢時，返回左右兩邊狀態的合併狀態
return Query(node<<1, l, mid, il, mid)
| Query(node<<1|1, mid+1, r, mid+1, ir);
}