最短路徑——迪傑斯特拉算法

概述
用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
算法
按路徑長度遞增次序產生算法：
把頂點集合V分成兩組：
（1）S：已求出的頂點的集合（初始時只含有源點V0）
（2）V-S=T：尚未確定的頂點集合
將T中頂點按遞增的次序加入到S中，保證：
（1）從源點V0到S中其他各頂點的長度都不大於從V0到T中任何頂點的最短路徑長度
（2）每個頂點對應一個距離值
S中頂點：從V0到此頂點的長度
T中頂點：從V0到此頂點的只包括S中頂點作中間頂點的最短路徑長度
依據：可以證明V0到T中頂點Vk的，或是從V0到Vk的直接路徑的權值；或是從V0經S中頂點到Vk的路徑權值之和
（反證法可證）
求最短路徑步驟
算法步驟如下：
G={V,E}
1. 初始時令 S={V0},T=V-S={其餘頂點}，<V0,Vi>，d(V0,Vi)V0,Vi>弧上的權值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)爲<V0,Vi>弧上的權值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)爲∞
2. 從T中選取一個與S中頂點有關聯邊且權值最小的頂點W，加入到S中
3. 對其餘T中頂點的距離值進行修改：若加進W作中間頂點，從V0到Vi的距離值縮短，則修改此距離值
重複上述步驟2、3，直到S中包含所有頂點，即W=Vi爲止

<<數據結構>>(C語言版 嚴蔚敏 吳爲民 編著) 中該算法的實現

/*
測試數據 教科書 P189 G6 的鄰接矩陣 其中 數字 1000000 代表無窮大
6
1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
結果：
D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]
 0   1000000   10     50     30     60
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAX 1000000
using namespace std;
int arcs[10][10];//鄰接矩陣
int D[10];//保存最短路徑長度
int p[10][10];//路徑
int final[10];//若final[i] = 1則說明 頂點vi已在集合S中
int n = 0;//頂點個數
int v0 = 0;//源點
int v,w;
void ShortestPath_DIJ()
{
     for (v = 0; v < n; v++) //循環 初始化
     {
          final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
          for (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;//設空路徑
          if (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
     }
     D[v0] = 0; final[v0]=0; //初始化 v0頂點屬於集合S
     //開始主循環 每次求得v0到某個頂點v的最短路徑 並加v到集合S中
     for (int i = 1; i < n; i++)
     {
          int min = MAX;
          for (w = 0; w < n; w++)
          {
               //我認爲的核心過程--選點
               if (!final[w]) //如果w頂點在V-S中
               {
                    //這個過程最終選出的點 應該是選出當前V-S中與S有關聯邊
                    //且權值最小的頂點 書上描述爲 當前離V0最近的點
                    if (D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
               }
          }
          final[v] = 1; //選出該點後加入到合集S中
          for (w = 0; w < n; w++)//更新當前最短路徑和距離
          {
               /*在此循環中 v爲當前剛選入集合S中的點
               則以點V爲中間點 考察 d0v+dvw 是否小於 D[w] 如果小於 則更新
               比如加進點 3 則若要考察 D[5] 是否要更新 就 判斷 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小於D[5]
               */
               if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
               {
                    D[w] = min + arcs[v][w];
                   // p[w] = p[v];
                    p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] +　[w]
               }
          }
     }
}


int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
         for (int j = 0; j < n; j++)
         {
              cin >> arcs[i][j];
         }
    }
    ShortestPath_DIJ();
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("D[%d] = %d\n",i,D[i]);
    return 0;
}