樹狀數組

樹狀數組(binary indexed tree)
概念：是一種數組結構
目的：高效地獲取數組中連續n個數的和。
應用 :序列中的元素可不斷地被修改，要快速地獲取某區間和(單點更新，區間求和)
前注 :如果每次要修改的不是單個元素，而是一個區間，那不應當用樹狀數組(效率過低)

操作：
1.修改元素(增減值) –> O(logn)
2.求區間和 –> O(logn)

實現：
給定序列（數列）A，我們設一個數組C滿足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]
        (K爲 i在二進制下末尾0的個數， i >= 1)  --> 給定 i,則有 2^k = i&(i^(i-1)) = i&(-i)

圖示:

修改元素:
————–>若要修改A[i]的值時，只需從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有C[]。
區間求和:
————–>求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的C[]值加起來。（子樹的數目是n在二進制時1的個數）

int lowbit(int n)
{//求 2^k , k 爲n在二進制下末尾0的個數
    return n & (-n); // == n & (n^(n-1));
}
int Sum(int End)        
{//求前n項和
    int ans = 0;
    while(End > 0)
    {
        ans += treeC[End];
        End -= lowbit(End);
    }
    return ans;
}
void Plus(int pos,int num,int len) 
{//增加某元素的值
    while( pos <= len )
    {
        treeC[pos] += num;
        pos += lowbit(pos);
    }
}

例題 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166

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高級應用 : 區間更新 單點查找

操作：
1.區間更新
例如 :
在 區間[ Begin,End] 加 Add

則Plus(Begin,Add)   Plus(End+1,-Add)

實現了更新區間[ Begin,End] 的值而不改變其他值

2.單點查找

Sum(i) 即爲 A[i] 的值

例題 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556

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推廣 : 二維樹狀數組
用途 :
一個由數字構成的大矩陣，能進行
操作
1) 修改矩陣元素(增減值)
2) 求子矩陣的和

求和有
有 C[x][y] = sum{ A[i][j] , x - lowbit[x] +1 <=i <= x , y-lowbit[y]+1 <= j <=y }