分治法之芯片測試

最近在看算法導論時，看到了這道芯片測試的題，想了很久，總結一下我的思路

一、問題描述

Diogenes教授有n個被認爲是完全相同的VLSI芯片，原則上它們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片芯片時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。一個好的芯片總是能夠報告另一片的好壞，但一個壞的芯片的結果是不可靠的。這樣，每次測試的四種可能結果如下：

A芯片報告	B芯片報告	結論
B是好的	A是好的	都是好的，或都是壞的
B是好的	A是壞的	至少一片是壞的
B是壞的	A是好的	至少一片是壞的
B是壞的	A是壞的	至少一片是壞的

a）證明若多於n/2的芯片是壞的，在這種成對測試方法下，使用任何策略都不能確定哪個芯片是好的。假設壞的芯片可以聯合起來欺騙教授。

b）假設有多於n/2的芯片是好的，考慮從n片中找出一片好芯片的問題。證明n/2對測試就足以使問題的規模降至近原來的一半。

c）假設多於n/2片芯片是好的，證明好的芯片可用Θ(n)對測試找出。給出並解答表達式測試次數的遞歸式。

二、題幹解讀

1. 當兩個芯片都報告是好的，如果其中一個A是壞的，因爲另一個B說A是好的，所以B也是壞的
2. 當兩個芯片的報告一好一壞時：
   1. 說對方好的那個芯片一定是壞的：假設A說B是好的，B說A是壞的，若A是好的，則B是好的，那麼B說A是壞的就自相矛盾了，所以A一定是壞的。
   2. 說對方壞的那個芯片可能是好的，也可能是壞的：經過上面的分析，A一定是壞的，那麼A說的就不可信（可能是對的可能是錯的），那麼B說A是壞的，B好的壞的都有可能
3. 當兩個芯片的報告都是壞的時：
   1. 首先不可能兩個都是好的
   2. 若一個是好的：假設A是好的，則A說B是壞的，成立；B是壞的，所以還不管B的說辭
   3. 兩個都是壞的，就無所謂他們說啥了

三、算法分析

對於問題a，採用窮舉法，將任何一片芯片與其它所有芯片進行比較，因爲有多於n/2的芯片是壞的，且壞的芯片可以聯合起來欺騙教授，則測試結果是不可靠的，無法判斷出該芯片是好是壞。

對於問題b和c，先假設：設有a個好的芯片數，b個壞的芯片數，z對測試結果爲全好的測試對，其中芯片（注意這裏是芯片全爲好的，不是測試結果爲好的）全是好的測試對爲x，芯片全爲壞的測試對爲y，x+y=z。

分治算法設計思想

這裏先說明一下前提：好芯片比壞芯片至少多1片！（以下例子，想不明白可以假設總共有4片或者6片芯片）

一、隨機的兩兩配對，則共有⌊n/2⌋對，分別測試。

二、根據問題描述：

（1）如果測試結果爲一好一壞，或者兩壞，那麼把這對丟棄：

• 很好理解，本來好的比壞的多，丟一個好的一個壞的，那麼好的還是比壞的多，丟兩個壞的就更不用說了

（2）如果測試結果爲兩好，那麼隨意丟棄其中一個，留下一個：

• 解釋：這樣做的主要目的是減小芯片的規模，經過第一步後，現在就剩兩個都報告好的情況了（因爲好的芯片比壞的芯片多，所以不存在所有的芯片對均測試爲一好一壞），這種情況一對的兩個芯片要麼都是好的，要麼都是壞的，那麼從每對芯片中隨意扔一個，最後好的芯片還是比壞的芯片多，但芯片數減少了一半

（3）這裏要考慮芯片爲奇數的情況：

• 若n爲奇數，則剩餘一個芯片沒有配對。那麼這個時候，就要根據第（2）步中測試結果爲兩好的芯片對數z進行判斷：若z爲奇數，丟棄這個芯片；若z爲偶數（0也是偶數），留下這個芯片。
  • 解釋：（a）當z爲奇數時，假設最壞的情況，即最後剩的那一個芯片是好的，假設前面（z-1）對的好芯片與壞芯片數相同，那麼現在就剩一對芯片了，這對芯片要麼都是好的，要麼都是壞的，如果是壞的，則好的芯片數比壞的芯片數少一，不成立，則這對芯片都是好的。即當z爲奇數時，好芯片對數-壞芯片對數>= 1對，即好芯片數-壞芯片數>= 2，丟掉一半後，好芯片數-壞芯片數>=1(見下圖)；那麼把最後多出來的一個芯片必須丟掉，最後好的芯片還是比壞的芯片多
  • （b）若z爲偶數（0也是偶數），還是假設最壞的情況，即這z對芯片好的與壞的一樣多，那麼這多出來的一片必是好的；若多出來的這一片是壞的，那麼z對芯片中，好的芯片對數-壞的芯片對數>=2對，即好芯片數-壞芯片數>= 4，減半後，好芯片數-壞芯片數>= 2，即使放進來一個壞芯片，最後好的芯片還是比壞的芯片多

這樣操作後，留下的好芯片數一定還是大於壞的芯片數的，且經過⌊n/2⌋對測試後，原問題的規模降低了近一半（解決了問題(b)）。

三、 重複第（二）步，當n<=2時，就只剩下了好的芯片。

因爲始終是好芯片數多於壞芯片數，那麼當n<=2時，就只有好的芯片了

總結：

測試結果爲一好一壞或者兩壞的芯片對中至少一片是壞的，把這對丟棄能保證剩下的芯片中好芯片的數量仍大於壞芯片的數量。

測試結果爲全好的，這對芯片有可能全爲好，有可能全爲壞，隨意丟棄其中一個，留下 一個。

設好芯片的對數爲x，壞芯片的對數爲y。考慮n的情況：

      若n爲偶數，則x>y，所以留下的好芯片數還是大於壞的芯片數；

      若n爲奇數，則剩餘一個沒有配對的芯片。考慮z的情況：

           若z是奇數，則x>y，丟棄這個芯片，這樣留下的好芯片數還是大於壞的芯片數；

           若z是偶數，考慮這個芯片的情況：

                若芯片是好的，則x>=y，留下這個好的芯片，這樣留下的好芯片數還是大於壞的芯片數；            

                若芯片是壞的，則x-y>=2，留下這個壞的芯片，這樣留下的好芯片數還是大於壞的芯片數。

綜上所述，留下的好芯片數一定還是大於壞的芯片數的。

對於問題c：採用b中的操作方法，遞歸式爲：f(n) = f(n/2) + n/2。這個遞歸式符合主定理中的第三種情況，所以好的芯片可用Θ(n)對測試找出。

四、代碼實現

class Test {
    public static void main(String[] args) {
    	//用數組來存儲芯片，1代表爲好的芯片，0代表爲壞的芯片，下面的數組總有23個芯片，12個爲好的
        int[] arr = {1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1};
        System.out.println(Arrays.toString(getRight(arr,arr.length)));
    }

    //定義一個測試平臺，來模擬題幹中的測試裝置，好的芯片輸出對的，壞的芯片隨機輸出
    public static boolean[] judge(int x, int y) {
        boolean[] result = new boolean[2];
        if (x == 1 && y == 1) {
            result[0] = true;
            result[1] = true;
        } else if (x == 1 ^ y == 1) {
            result[0] = false;
            result[1] = ((int) (Math.random() * 2)) == 1;
        } else {
            result[0] = ((int) (Math.random() * 2)) == 1;
            result[1] = ((int) (Math.random() * 2)) == 1;
        }
        return result;
    }

    //返回一個正確的芯片
    public static int[] getRight(int[] arr,int length) {
    	//當芯片個數小於等於2時，均爲好的芯片，返回
        if (length<= 2) {
            int[] z = new int[length];
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                z[i] = arr[i];
            }
            return z;
        }
        //這裏用數組存儲選出來的芯片，數組定義爲最壞情況下的長度，其它情況數組後邊可能有多餘的位數
        //所以用length來標明數組中的有效長度
        int[] tmp = new int[length / 2 + 1];
        boolean[] result = null;//這個數組用來接收測試結果

        int point = 0;//記錄選出來的芯片個數
        //芯片兩兩爲一組，進行測試
        for (int i = 0; i < length-1; i += 2) {
            result = judge(arr[i], arr[i + 1]);
            if (!result[0] ^ result[1]) {
                //兩個芯片都測試爲好的情況，則隨機選出其中一個芯片
                int x = (int) (Math.random() * 2);
                tmp[point] = arr[i + x];
                point++;
            }
        }
        //考慮總個數爲奇數的情況
        if (length % 2 == 1) {
        	//這時要根據選出來的個數進行判斷，偶數就加進去，奇數就扔掉
            if (point % 2 == 0) {
                tmp[point] = arr[length - 1];
                point++;
            }
        }
		//遞歸，繼續兩兩進行測試，直到芯片個數少於3個
        return getRight(tmp,point);
    }
}