圖像處理--圖像的幾何變換--旋轉變換

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旋轉有一個繞着什麼轉的問題。通常的做法是以圖像的中心爲圓心旋轉，將圖像上的所有像素都旋轉一個相同的角度。圖像的旋轉變換是圖像的位置變換，但旋轉後圖像的大小一般會改變。和平移變換一樣，既可以把轉出顯示區域的圖像截去，也可以擴大顯示區域以顯示完整的圖像，如下圖所示。

我們先討論不裁剪轉出部分，擴大顯示區域的情況。在下圖所示的平面座標系中，A0逆時針旋轉θ變成A1，r是該點到原點的距離，則旋轉前：

旋轉後A1的座標爲

寫成矩陣的形式爲：

其逆變換矩陣如下：

上面公式是旋轉變換的基本公式，座標系是以圖像的中心爲原點，向右爲x軸正方向，向上爲y軸正方向。上述旋轉是繞座標原點進行的，如果是繞指定點（a,b）旋轉，那麼應該先將座標系平移至改點，再旋轉，然後平移至新的座標原點。

下面推導座標系平移的變換公式。座標系Ⅰ是圖像的座標系，座標系Ⅱ是旋轉座標系，座標系Ⅱ的原點在座標系中爲（a,b），如下圖所示。

兩種座標系之間的轉換爲：

逆變換爲：

有了上面的公式，就可以很方便的推導圖像旋轉變換的表達式。假設圖像未旋轉時候旋轉中心的座標是（a,b），旋轉後中心點的座標爲（c,d）（在新的座標系下，以旋轉後圖像的左上角爲原點），則可以把變換分爲3步：

第一步，將座標系Ⅰ變成Ⅱ；

第二步，旋轉θ（逆時針爲正，順時針爲負）；

第三步，將座標系Ⅱ變換回Ⅰ。這樣就得到了總的變換矩陣。

設原圖像某像素點的座標爲(x0，y0)，旋轉後在目標圖像的座標爲(x1，y1)，則旋轉變換的矩陣表達式爲：

逆變換爲：

有了上面的轉換公式，就可以很方便的編寫出實現圖像旋轉的程序。首先需要計算出公式中需要的幾個參數：a、b、c、d和旋轉後圖像的尺寸。已知原是圖像的寬度爲w0，高度爲h0，以圖像的中心爲座標原點。則原圖像四個角的座標分別是：

按照旋轉公式，旋轉後這四個點的座標分別是：

則新圖像的高度和寬度分別爲：

令

圖像旋轉的主要代碼如下：

void RotIamge(const Mat &srcImage, Mat &dstImage, double angle)  
{  
    //弧度  
    double sita = angle * CV_PI / 180;  
    double a = (srcImage.cols - 1) / 2.0;  
    double b = (srcImage.rows - 1) / 2.0;  
  
    int srcRow = srcImage.rows;  
    int srcCol = srcImage.cols;  
  
    double x1 = -a * cos(sita) - b * sin(sita);  
    double y1 = -a * sin(sita) + b * cos(sita);  
  
    double x2 = a * cos(sita) - b * sin(sita);  
    double y2 = a * sin(sita) + b * cos(sita);  
  
    double x3 = a * cos(sita) + b * sin(sita);  
    double y3 = a * sin(sita) - b * cos(sita);  
  
    double x4 = -a * cos(sita) + b * sin(sita);  
    double y4 = -a * sin(sita) - b * cos(sita);  
  
    int w1 = cvRound(max(abs(x1 - x3), abs(x4 - x2)));  
    int h1 = cvRound(max(abs(y1 - y3), abs(y4 - y2)));  
    dstImage.create(h1, w1, srcImage.type());  
  
    double c = (w1 - 1) / 2.0;  
    double d = (h1 - 1) / 2.0;  
  
    double f1 = -c * cos(sita) + d * sin(sita) + a;  
    double f2 = -c * sin(sita) - d * sin(sita) + b;  
    int nRowNum = dstImage.rows;  
    int nColNum = dstImage.cols;  
    for (int i = 0; i < nRowNum; i++)  
    {  
  
        for (int j = 0; j < nColNum; j++)  
        {  
            int x = cvRound(j * cos(sita) - i * sin(sita) + f1);  
            int y = cvRound(j * sin(sita) + i * cos(sita) + f2);  
            if (x > 0 && x < srcCol && y > 0 && y < srcRow)  
            {  
                dstImage.at<Vec3b>(i, j) = srcImage.at<Vec3b>(y, x);  
            }  
        }  
    }  
}  

對於旋轉以後圖像大小不變的情況，旋轉前後圖像的中心點座標都是（a,b），那麼旋轉的變換矩陣就是：

逆變換爲：

公式中，

主要代碼如下：

void RotIamge2(const Mat &srcImage, Mat &dstImage, double angle)  
{  
    //弧度  
    double sita = angle * CV_PI / 180;  
    double a = (srcImage.cols - 1) / 2.0 + 0.5;  
    double b = (srcImage.rows - 1) / 2.0 + 0.5;  
  
    int nRowNum = srcImage.rows;  
    int nColNum = srcImage.cols;  
    dstImage.create(nRowNum, nColNum, srcImage.type());  
  
    double f1 = -a * cos(sita) + b * sin(sita) + a;  
    double f2 = -a * sin(sita) - b * cos(sita) + b;  
  
    for (int i = 0; i < nRowNum; i++)  
    {  
        for (int j = 0; j < nColNum; j++)  
        {  
            int x = cvRound(j * cos(sita) - i * sin(sita) + f1);  
            int y = cvRound(j * sin(sita) + i * cos(sita) + f2);  
            if (x > 0 && x < nColNum && y > 0 && y < nRowNum)  
            {  
                dstImage.at<Vec3b>(i, j) = srcImage.at<Vec3b>(y, x);  
            }  
        }  
    }  
}  

要注意的是，由於有浮點運算，計算出來的座標可能不是整數，需要採取取整處理，使用cvRound()函數尋找最接近的點，這樣會帶來一些誤差，圖像可能會出現鋸齒，更好的方式是採用插值，後續將會具體介紹。