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HMM介绍
Hidden Markov Models是一种统计信号处理方法,模型中包含2个序列和3个矩阵:状态序列S、观察序列O、初始状态矩阵P、状态转移矩阵A、混淆矩阵B。举个例子来说明。
你一个异地的朋友只做三种活动：散步、看书、做清洁。每天只做一种活动。假设天气只有两种状态：晴和两。每天只有一种天气。你的朋友每天告诉你他做了什么，但是不告诉你他那里的天气。
某一周从周一到周五每天的活动分别是{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}----这就是观察序列O，因为你可以观察得到。
从周一到周五的天气依次是{晴，两，晴，晴，晴}----这就是状态序列S，状态序列是隐藏的，你不知道。
根据长期统计，某天晴的概率是0.6，两的概率是0.4。则
从晴转晴的概率是0.7，从晴转两的概率是0.3。从两转晴的概率是0.4，从两转两的概率是0.6。则
天气晴时，散步的概率是0.4，看书的概率是0.3，做清洁的概率是0.3。天气两时，散步的概率是0.1，看书的概率是0.4，做清洁的概率是0.5。则
该模型和实际情况有明显不符的地方：用一简单的状态转移矩阵A来表示状态的转移概率的前提是t时刻的状态只跟t-1时刻的状态有关，而实际上今天的天气跟过去几天的天气都有关系，而且跟过去几天的晴朗程度、两量大小都有关系；混淆矩阵B认为今天的活动只跟今天的天气有关系，实际上今天的活动跟过去几天的活动也有关系，比如过去一周都没有打扫房间，那今天做清洁的概率就大大增加。
模型介绍完了。
评估问题
隐马尔可夫模型中包含一个评估问题：已知模型参数，计算某一特定输出序列的概率。通常使用forward算法解决。
比如计算活动序列{读书，做清洁，散步，做清洁，散步}出现的概率，就属于评估问题。
如果穷举的话，观察序列会有2^5种，需要分别计算它们出现的概率，然后找出概率最大的。
穷举法中有很多重复计算，向前算法就是利用已有的结果，减少重复计算。
算法借助于一个矩阵Q[LEN][M]，其中M是所有状态的种数，Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率之和。最终所求结果为Q[LEN-1][0]+...+Q[LEN-1][M-1]，即最后一天，所有隐藏状态下，分别满足观察序列的概率值之和。
比如Q[0][0]=p(第一天做卫生 且 第一天晴)=p(天晴)*p(做卫生|天晴)=P[0]*B[0][2]=0.6*0.3=0.18
Q[0][1]=p(第一天做卫生 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(做卫生|下雨)=P[1]*B[1][2]=0.4*0.5=0.2
Q[1][0]=p(第一天做卫生 且 第二天晴 且 第二天做卫生)
=p(第一天做卫生 且 第二天晴)*p(天晴的情况下做卫生)
=p{ p(第一天做卫生 且 第一天晴)*p(从天晴转天晴)+p(第一天做卫生 且 第一天下雨)*p(从下雨转天晴) }*p(天晴的情况下做卫生)
={ Q[0][0]*A[0][0] + Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]
Q[1][1]= ……
…… ……
可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。
解码问题
解码问题是：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列O(LEN)的隐含状态的序列。通常使用Viterbi算法解决。
观察序列长度为LEN，则隐藏状态序列长度也是LEN，如果采用穷举法，就有M^LEN种可能的隐藏状态序列，我们要计算每一种隐藏状态到指定观察序列的概率，最终选择概率最大的。
穷举法中有很多重复计算，Viterbi算法就是利用已有的结果，减少重复计算。
跟评估问题非常相似，不同点在于评估算的是和，解码算的是最大值。
Viterbi算法主要就是在计算一个矩阵Q[LEN][M]，其中Q[i][j]表示从第0天到第i天，满足观察序列，且第i天隐藏状态为Sj的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。另外还要建立一个矩阵Path[LEN][M]，用来记录状态序列中某一状态之前最可能的状态。
举个例子，假如指定观察序列是{读书，做卫生，散步，做卫生，散步}，求出现此观察序列最可能的状态序列是什么。
Q[0][0]=p(第一天读书 且 第一天晴)=p(天晴)*p(读书|天晴)
Path[0][0]=-1;
Q[0][1]=p(第一天读书 且 第一天下雨)=p(下雨)*p(读书|下雨)
Path[0][1]=-1;
关键是从第二天开始，Q[1][0]表示：满足“第一天读书 且 第二做卫生 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列的概率的最大值。那么满足“第一天读书 且 第二做清洁 且 第二天晴”的所有可能的隐藏序列有哪些呢？第二天是必须满足晴天的，第二天之前的状态可以任意变。则所有可能的隐藏序列就是“晴 晴”和“雨 晴”。实际上考虑第三天（及第三天以后）时，并不需要考虑“所有”可能的隐藏序列，而只需要考虑第二天的不同状态取值，这是因为马氏过程有无后效性--tm时刻所处状态的概率只和tm-1时刻的状态有关，而与tm-1时刻之前的状态无关。
Q[1][0]=
max{ p(第一天晴 且 第一天读书 且 第二天晴 且第二天做卫生) ，p(第一天下雨 且 第一天读书 且 第二天晴 且 第二天做卫生) }
=max{ p(第一天读书 且 第一天晴)*p(天晴转天晴)，p(第一天读书 且 第一天下雨)*p(下雨转天晴) } * p(做卫生|天晴)
=max{ Q[0][0]*A[0][0]，Q[0][1]*A[1][0] } * B[0][2]
假如Q[0][0]*A[0][0] < Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=1；假如Q[0][0]*A[0][0] > Q[0][1]*A[1][0]，则Path[1][0]=0。
Q[1][1]= ……
…… ……
可以看到计算Q矩阵的每i行时都用到了第i-1行的结果。