求遞歸算法時間複雜度：遞歸樹

　　

另外見地址2

遞歸算法時間複雜度的計算方程式一個遞歸方程：

　　

　　在引入遞歸樹之前可以考慮一個例子：

　　T(n) = 2T(n/2) + n²

　　迭代2次可以得：

　　T(n) = n² + 2(2T(n/4) + (n/2) ²)

　　還可以繼續迭代，將其完全展開可得：

　　T(n) = n² + 2((n/2) ² + 2((n/2²)² + 2((n/2³) ² + 2((n/2⁴) ²+…+2((n/2ⁱ) ² + 2T(n/2^{i + 1})))…))))　　……(1)

　　而當n/2ⁱ⁺¹ == 1時，迭代結束。

 

　　將(1)式小括號展開，可得：

　　T(n) = n² + 2(n/2)² + 2²(n/2²) ² + … + 2ⁱ(n/2ⁱ)² + 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

　　這恰好是一個樹形結構，由此可引出遞歸樹法。

 

　　圖中的(a)(b)(c)(d)分別是遞歸樹生成的第1,2,3,n步。每一節點中都將當前的自由項n²留在其中，而將兩個遞歸項T(n/2) + T(n/2)分別攤給了他的兩個子節點，如此循環。

　　圖中所有節點之和爲:

　　[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²

　　可知其時間複雜度爲O(n²)

　　

　　可以得到遞歸樹的規則爲：

　　(1) 每層的節點爲T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在當前的n/m下的值；

　　(2) 每個節點的分支數爲k；

　　(3)每層的右側標出當前層中所有節點的和。

 

　　再舉個例子：

　　T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

　　其遞歸樹如下圖所示：

　　

　　可見每層的值都爲n，從根到葉節點的最長路徑是：

　　

　　因爲最後遞歸的停止是在(2/3)^kn == 1.則

　　　　　　

　　於是

　　　　

　　即T(n) = O(nlogn)　

 

　　總結，利用此方法解遞歸算法複雜度：

　　f(n) = af(n/b) + d(n)

　　1.當d(n)爲常數時：

　　

　　2.當d(n) = cn 時：

 　　

　　3.當d(n)爲其他情況時可用遞歸樹進行分析。

　　

　　由第二種情況知，若採用分治法對原算法進行改進，則着重點是採用新的計算方法縮小a值。