《剑指offer》：自己写一个pow函数

缘由

今天打google在codejam上办的apactest，成绩还行吧（最后排名540），第二题逗比了，自己逻辑后来理清楚，但是代码还是原来的想法，wa了两次才找到了bug。

第二题需要实现一个整数的pow函数，之前只会递归的写法，今天学会了迭代的写法，回想《剑指offer》里也有类似的东西，所以整理成这篇博客。

整数的非负整数次幂（不考虑大数）

线性求幂

比如求2的10次幂，可能有人随手十几秒就写完了：

typedef long long LL;
LL pow(int base, int exponent) {
    LL ans = 1;
    for (int i = 0; i < exponent; ++i) {
        ans *= base;
    }
    return ans;
}

如果exponent是比较大的呢？有没有更快的？

快速幂算法登场

我们把exponent表示成二进制的形式，比如15=1111，那么其实有：

a11=a10112=a10002+102+12=a10002∗a102∗a12=a8∗a2∗a1

这样计算的话，我们只需要计算log2(exponent) 次就够了！对比232和32 ，完全不一样的数量级！

那么代码怎么写呢？

typedef long long LL;
LL pow(int base, int exponent) {
    LL ans = 1, last_pow = base;
    while (exponent > 0) {
        // 如果最低位为1
        if ((exponent & 1) != 0)
            ans = ans * last_pow ;
        exponent = exponent >> 1;
        last_pow = last_pow * last_pow;
    }
    return ans;
}

其实我觉得代码已经很清楚了，如果还不清楚的话，可以稍微解释一下（请先自行熟悉位运算）：
假如我们使用上面的函数来迭代计算311 ，根据上面所使用的公式，11表示为二进制是1011，计算过程是这样的：
第一步：发现1011的最低位为1，ans乘上31 为3，1011右移一位变成101；
第二步：发现101的最低位为1，ans乘以32 变成27，101右移一位变成10；
第三步，发现10的最低位不为1，ans不变，10右移一位变成1；
第四步，发现1的最低位为1，ans乘以38 变成177147，1右移一位变成0，退出while循环。

注意每一步里的31 ，32 ，34 ，38 是怎么来的呢？用的就是last_pow（注意初始值）这个量来每次平方自己计算出来的！第三步里虽然ans不变，但是last_pow还是得平方一下，否则没法在第四步里变成所需要的38 。

整数次幂

注意现在的问题变成了整数次幂了，也就是包括负数次幂了！
首先回顾一下幂运算的定义：

a−x=1ax，x为正整数

a0=1，a不等于0

也就是说，对于负数次幂，其实只要计算它的绝对值次幂，再用1去除就可以了，还要注意检查计算0的0次幂这种非法情况！

typedef double NumberType;

// 计算非负整数次幂的函数
NumberType powWithoutNegativeExp(NumberType base, int exponent) {
    NumberType ans = 1, last_pow = base;
    while (exponent > 0) {
        if ((exponent & 1) != 0)
            ans = ans * last_pow ;
        exponent = exponent >> 1;
        last_pow = last_pow * last_pow;
    }
    return ans;
}

// 浮点数相等的判断比较特别
bool equalD(NumberType numA, NumberType numB) {
    static const NumberType ERROR = 1e-12;
    return (numA - numB <= ERROR && numA - numB >= -ERROR);
}

// 处理各种情况的幂运算的函数
NumberType pow(NumberType base, int exponent) {
    // 0的0次幂没有意义，抛出异常
    if (exponent == 0 && equalD(base, 0)) {
        throw logic_error("Zero's zero exponent is undefine.");
    }

    bool isNegative = false;
    if (exponent < 0) {
        isNegative = true;
        exponent = -exponent;
    }

    NumberType result = powWithoutNegativeExp(base, exponent);
    return isNegative ? 1 / result : result;
}

注释代码里有了～应该是很清晰的。

另附上完整的使用示例：

#include <iostream>
#include <stdexcept>
using namespace std;

typedef double NumberType;

NumberType powWithoutNegativeExp(NumberType base, int exponent) {
    NumberType ans = 1, last_pow = base;
    while (exponent > 0) {
        if ((exponent & 1) != 0)
            ans = ans * last_pow ;
        exponent = exponent >> 1;
        last_pow = last_pow * last_pow;
    }
    return ans;
}

bool equalD(NumberType numA, NumberType numB) {
    static const NumberType ERROR = 1e-12;
    return (numA - numB <= ERROR && numA - numB >= -ERROR);
}

NumberType pow(NumberType base, int exponent) {
    if (exponent == 0 && equalD(base, 0)) {
        throw logic_error("Zero's zero exponent is undefine.");
    }

    bool isNegative = false;
    if (exponent < 0) {
        isNegative = true;
        exponent = -exponent;
    }

    NumberType result = powWithoutNegativeExp(base, exponent);
    return isNegative ? 1 / result : result;
}


int main() {
    for (double i = 1.1; i < 1.5; i+=0.1) {
        for (int j = 1; j < 10; ++j)
            cout << i << ' ' << j << ' ' << pow(i, j) << endl;
    }

    return 0;
}