leetcode: Combination Sum III

原题链接：https://leetcode.com/problems/combination-sum-iii/

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题意

给定数字的个数k和总和n，要求从[1-9]中选取k个各不相同的数字组合，其总和刚好等于n，返回所有组合情况

思路

无脑DFS，即使遍历所有情况，也就是O(n^k)。
想象一棵9叉树，它是满的，并且刚好有k层。

优化：
1. 我们不必DFS到第k层，到k-1层就够了。因为知道总和，又知道前k-1个数字的和，自然知道最后一个值应该是多少，不必再枚举了！
2. 在枚举每一层的时候，也是可以剪枝的，比如当前填进去的数字是x，那么接下来要填的数字至少是x+1, x+2, …，假设我们有num个数字要填（包括x），那么它们的和就是：

sum(x,x+1,x+2,...x+num−1)=(x+x+num−1)∗num/2

如果这个总和加上当前的和，超过n的话，就不必往下遍历了，因为后面都是非法的，这已经是总和最少的情况了，还比n大！

代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > combinationSum3(int k, int n) {
        vector<vector<int> > ans;
        vector<int> v;
        dfs(0, 0, k, n, v, ans);
        return ans;
    }

private:
    void dfs(int last, int sum, int k, int n, vector<int>& v, vector<vector<int> >& ans) {
        if (k - v.size() == 1) {
            int key = n - sum;
            if (key > last && key <= 9) {
                v.push_back(key);
                ans.push_back(v);
                v.pop_back();
            }
            return;
        }

        for (int i = last+1; i <= 9; ++i) {
            int numToFill = k - v.size();
            // 注意后半部分的表达式，其实是计算等差数列的公式: sum(a, a+1, ..., a+num-1)
            // futureSum表示如果要将i作为下一个的话，未来的和至少是多少！以此来剪枝
            int futureSum = sum + ((i + i + numToFill - 1) * numToFill) / 2;
            if (futureSum > n)
                break;
            v.push_back(i);
            dfs(i, sum + i, k, n, v, ans);
            v.pop_back();
        }
    }
};