CF 559E

題目大意

在一條(−∞,+∞) 的數軸上，有N 盞探照燈，座標分別爲ai 。每盞探照燈都可以往負方向或正方向發射光線，但每盞燈都有一個強度li ，也就是說他最多隻能照到(ai−li,ai) 或(ai,ai+li) 。問你，在合法的規劃每盞燈的方向下，最多能照到多少長度的數軸。一段數軸(l,r) 的長度爲r−l ，他被照到當且僅當整段都被某些探照燈所覆蓋。

數據範圍

N≤100,ai,li≤108

題解

我們先將探照燈按ai 排序。
首先要注意，假如一段區間(l,r) 被覆蓋了，那麼必然是被一段連續的探照燈([i,j] 所覆蓋的。
設Fi,j,k 表示當前用了前i 盞燈，最後一段是探照燈j 貢獻的，其方向爲k 最多能照到多少長度。當k=0 時表示照向負方向，k=1 時表示照向正方向。
假設我們已經知道了Fi,j,k ，接着要進行轉移。
設Pre 表示當前覆蓋區間的右端點，可以直接用aj+k∗lj 計算出來。我們嘗試枚舉一個p ，表示要把前p 盞燈用完，並且p 要對答案有貢獻，也就是說，在最終的方案中，p 能唯一(或稱爲最先)覆蓋某一段燈。而且p 枚舉時應當兩個方向都枚舉。
那麼我們可以畫一幅圖，

Pre 就是之前的燈照的區間，Far 表示當前轉移枚舉的右端點，那麼有用的P 就如圖中的P1,P2 所示，必須要把某一段Pre,Far 之間的空白填補。設P 的右端點爲Nr 。那麼P 造成的貢獻就是min(Lp,Nr−Pre) ，最後再考慮上Far,P1 之間的覆蓋，P 的貢獻就是min(Lp,Nr−Pre)+Far−Nr 。因此，這種轉移是
Fp,far,dir=Fi,j,k+min(Lp,Nr−Pre)+Far−Nr 。

這裏也體現了我們一開始將燈按ai 排序的優勢。我們的枚舉是單調的，而且我們可以輕鬆解決這種情況

最後我們可以得到一個O(N3) 的算法。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 105;

struct Node
{
    int x,l;
}A[MAXN];

int F[MAXN][MAXN][2],N,Ans;

bool cmp(Node a,Node b) {return a.x < b.x;}

int main()
{
    //freopen("data.in","r",stdin),freopen("data.out","w",stdout);
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1;i <= N;i ++) scanf("%d%d", &A[i].x, &A[i].l);
    sort(A + 1,A + N + 1,cmp);
    A[0].x = -(1 << 30);
    for(int i = 0;i <= N;i ++)
        for(int j = 0;j <= i;j ++)
            for(int p = 0;p < 2;p ++)
            {
                Ans = max(Ans,F[i][j][p]);
                int Pr = A[j].x + p * A[j].l;
                for(int k = i + 1,mx = -(1 << 30),a,b;k <= N;k ++)
                    for(int d = 0;d < 2;d ++)
                    {
                        int nxt = A[k].x + d * A[k].l;
                        if (nxt > mx) mx = nxt,a = k,b = d;
                        F[k][a][b] = max(F[k][a][b],F[i][j][p] + min(A[k].l,nxt - Pr) + mx - nxt);
                    }
            }
    printf("%d\n", Ans);
    return 0;
}