DTOJ 2746. 皇后遊戲（game）

題意

還記得 NOIP 2012 提高組 Day1 的國王遊戲嗎？時光飛逝，光陰荏苒，四年過去了。早已過時的國王遊戲如今已被皇后遊戲取代，請你來解決類似於國王遊戲的另一個問題。

皇后有 n 位大臣，每位大臣的左右手上面分別寫上了一個正整數。恰逢勞動節來臨，皇后決定爲 n 位大臣頒發獎金，其中第 i 位大臣所獲得的獎金數目爲第 i-1 位大臣所獲得獎金數目與前 i 位大臣左手上的數的和的較大值再加上第 i 位大臣右手上的數。

形式化地講：我們設第 i 位大臣左手上的正整數爲 ai，右手上的正整數爲 bi， 則第 i 位大臣獲得的獎金數目爲 ci 可以表達爲：

\[$$c_i=\begin{cases}a_1+b_1 & i=1\\max \{c_{i-1},\sum^{i}_{j=1}{a_j} \} +b_i & 2 \le i \le n\\\end{cases}\$$]

當然，吝嗇的皇后並不希望太多的獎金被髮給大臣，所以她想請你來重新安排一下隊伍的順序，使得獲得獎金最多的大臣，所獲獎金數目儘可能的少。

注意：重新安排隊伍並不意味着一定要打亂順序，我們允許不改變任何一位大臣的位置。

【樣例說明 1】

按照 1、2、3 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 10；

按照 1、3、2 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 9；

按照 2、1、3 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 9；

按照 2、3、1 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 8；

按照 3、1、2 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 9；

按照 3、2、1 這樣排列隊伍，獲得最多獎金的大臣獲得獎金的數目爲 8。

當按照 3、2、1 這樣排列隊伍時，三位大臣左右手的數分別爲：

(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)

第 1 位大臣獲得的獎金爲 1 + 2 = 3；

第 2 位大臣獲得的獎金爲 max{3, 3} + 2 = 5；

第 3 爲大臣獲得的獎金爲 max{5, 7} + 1 = 8。

【數據規模與約定】

所有測試點的數據規模如下：

測試點編號	n的規模	T的規模	約定
1	=1	=1	無
2	=2
3	=5	=5
4	=9
5	=15
6	=15
7	=16
8	=16
9	=3000	=10	ai=bi
10	=3000
11	=5000		bi=ai+1
12	=5000
13	=10000		無
14	=10000
15	=20000
16	=20000
17	=30000

題解

對於排序問題考慮構造一種排序方式使得任意交換兩個數不會更優。設兩個大臣$i,j，a_{1...i}=x,c_{i-1}=y$，則要使：
$max(y+b_i+b_{i+1},x+a_i+b_i,x+a_i+a_{i+1}+b_i+1)\le max(y+b_i+1+b_i,x+a_{i+1}+b_i+1+b_i,x+a_i+a_{i+1}+b_i)$
發現第一項是相同的，且完全可以忽略它（如果忽略後不滿足不等式，那麼交換後還滿足原不等式）。
於是化簡得：$min(a_i,b_j)\le min(b_i,a_j)$。
直接按照這個排序會有問題，因爲這不滿足傳遞性，考慮將它劃分成若干個可傳遞的範圍：按照$a,b$的大小先分一類，$a<b$的一定在前，$a>b$的一定在後，然後對於兩邊分別按照$a$升序、$b$降序排序即可。