DTOJ 4714. 圈

題意

對一張無重邊、無自環的 $n$ 個點的無向圖，定義圈爲可以重複經過同一個點多次、但不能多次經過同一條邊的環。例如，$1\to 2\to 1$ 不是一個合法的圈，而 $1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 3\to 1$ 是一個合法的圈。

定義無向圖的雙圈覆蓋爲：圖的若干個圈，使得圖中每條邊恰好出現在兩個圈中（無論方向）。

一個定理：如果一個圖有哈密爾頓迴路的話，它就一定有雙圈覆蓋。

現在給定一張無重邊、無自環的 $n$ 個點的無向圖，保證這個圖存在哈密爾頓迴路（會給出），且每個點的度數至少爲 $3$。

求它的一個雙圈覆蓋。

對 $50\%$ 的數據，$m\le 10$.

對所有的數據，$T\le 100，4\le n\le 50,n\le m\le 500$.

題解

一個圈相當於一條歐拉回路，求雙圈覆蓋相當於求一系列歐拉回路使得每條邊恰好經過$2$次。考慮題目的特殊條件：首先是一個從$1$依次連到$n$的環（以下把這個稱爲環，這上面的邊稱爲環邊），再加上若干其它邊，每個點的度數不小於$3$。

每個點的度數不小於$3$這個條件比較奇怪，先考慮每個點度數都爲$3$：如果每個點的度數都是$2$，那麼可以找到一系列歐拉回路覆蓋所有邊一次；考慮把邊分爲兩組使得每組的每個點的度數都是$2$：因爲除了環邊外的邊使得每個點的度數都爲$1$，再加上間隔的環邊即可，這兩組再加上原來的環即符合雙圈覆蓋的要求。

問題剩下如何使每個點度數爲$3$，考慮把一個度數$>3$的點$u$的度數$-1$：由於環的結構不能破壞要特殊考慮，設$u$在環上的下一個點爲$w$，而與$u$的非環邊$>1$個。我們需要把$u$的一個非環邊刪掉，同時加上一條等效的邊，又要不破壞環的結構。設原來有一條非環邊連向$x$，拆掉$(u,w)$再新建一個點$p$，使$u$與$p$相連（即把$x$替換爲$p$），爲了不破壞環的結構，把$p$與$w$相連，最後把$x$與$p$相連以代替原來的邊，這樣$p$剛好有$3$條連邊，且$u$的度數恰好減少$1$，其他點都不變。一直這樣下去，就可以構造出所有度數都爲$3$的圖了。