DTOJ 4714. 圈

题意

对一张无重边、无自环的 $n$ 个点的无向图，定义圈为可以重复经过同一个点多次、但不能多次经过同一条边的环。例如，$1\to 2\to 1$ 不是一个合法的圈，而 $1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 3\to 1$ 是一个合法的圈。

定义无向图的双圈覆盖为：图的若干个圈，使得图中每条边恰好出现在两个圈中（无论方向）。

一个定理：如果一个图有哈密尔顿回路的话，它就一定有双圈覆盖。

现在给定一张无重边、无自环的 $n$ 个点的无向图，保证这个图存在哈密尔顿回路（会给出），且每个点的度数至少为 $3$。

求它的一个双圈覆盖。

对 $50\%$ 的数据，$m\le 10$.

对所有的数据，$T\le 100，4\le n\le 50,n\le m\le 500$.

题解

一个圈相当于一条欧拉回路，求双圈覆盖相当于求一系列欧拉回路使得每条边恰好经过$2$次。考虑题目的特殊条件：首先是一个从$1$依次连到$n$的环（以下把这个称为环，这上面的边称为环边），再加上若干其它边，每个点的度数不小于$3$。

每个点的度数不小于$3$这个条件比较奇怪，先考虑每个点度数都为$3$：如果每个点的度数都是$2$，那么可以找到一系列欧拉回路覆盖所有边一次；考虑把边分为两组使得每组的每个点的度数都是$2$：因为除了环边外的边使得每个点的度数都为$1$，再加上间隔的环边即可，这两组再加上原来的环即符合双圈覆盖的要求。

问题剩下如何使每个点度数为$3$，考虑把一个度数$>3$的点$u$的度数$-1$：由于环的结构不能破坏要特殊考虑，设$u$在环上的下一个点为$w$，而与$u$的非环边$>1$个。我们需要把$u$的一个非环边删掉，同时加上一条等效的边，又要不破坏环的结构。设原来有一条非环边连向$x$，拆掉$(u,w)$再新建一个点$p$，使$u$与$p$相连（即把$x$替换为$p$），为了不破坏环的结构，把$p$与$w$相连，最后把$x$与$p$相连以代替原来的边，这样$p$刚好有$3$条连边，且$u$的度数恰好减少$1$，其他点都不变。一直这样下去，就可以构造出所有度数都为$3$的图了。