整數規劃求解有向圖最短路徑問題環路解決方法
在有向圖中，經常遇到給定起點和終點以及必經點，選擇一條權重最小的路徑這樣的問題。這種問題可以看做是旅行商問題（tsp）的變種，tsp問題是一種組合爆炸問題，當規模變大時，時間耗費十分巨大。
在數學上tsp可以使用整數規劃求解，通過求解最小值問題得出需要的路徑， 其正確性通過添加約束來保證的。
圖問題不可避免的遇到環路問題，解決環路問題在規模比較小的時候，可以通過遍歷圖中所有節點，尋找出所有環路，對環路添加約束，進行求解，此方法一定能夠得到最優解。但是隨着圖的規模變大，不可能把所有環路全部得出。
問題描述
給定一個帶權有向圖，起點，終點和必經節點子集，尋找從起點到終點的一條最短路徑，此路經必須經過必經節點子集，必經節點子集部分順序。
求解方法
整數規劃，第三方庫lpsolve
數學描述
設有向邊爲{
x0 ,x1 ,x2 ,... ,xn }, 權重爲{w0 ,w1 ,w2 ,... ,wn }
min∑ixi∗wi
s.t.
xbeginoutdegree=1 xbeginindegree=0 xendoutdegree=0 xendindegree=1 xnecessitynodeoutdegree=1 xnecessitynodeindegree=1 xnon−necessitynodeoutdegree<=1 xnon−necessitynodeindegree<=1
環路問題
對於尋路問題不可避免的存在環路，由於以上約束只是充分條件，環路的約束未添加，當使用整數規劃求解最小值，其解空間中很有可能得到帶有環路
tsp要求所有節點必須經過，其去環約束是：將環路所在的子集中所有對外節點的入和對外節點的出都大於等於1
在此問題中可以借鑑tsp環路解決方案。此方案的等價方案是：
構成環路的所有邊的數量小於等於邊數量-1,即構成環路的邊不能同時存在
以上是針對環路添加的約束，如果運行時間 不限制，以上破環方法總能找到最優解。
考慮到運行時間受限時，以上算法去環後，下一個環路很有可能就在上一個環路附近加入一個點構成新的環路，而通路節點不變，若給通路也加入約束時，就可以進一步縮小解空間，通路約束可以添加爲：
通路中所有邊的數量小於邊數量-1，即每次都要在通路中加入新的節點
通過以上約束，將會減小解空間，加快收斂速度，針對環路不是很多的情況運行時間都在1s內，就可以求出最優路徑。
- 然而，當環路中小環路比較多時，同構以上約束同樣很難在段時間內求解出最優解，需要進一步縮小解空間，其思路可以是：
儘量多的利用環路的先驗知識，儘可能多的破除環路，同理，儘量多的利用通路的先驗知識，破除儘量多的不可能的通路。
當環路附近有很多小環路：
當通路附近有許多小通路：
針對以上情況可以採取一下策略：
- 用整數規劃求解出帶有環路的解；
- 加入環路約束和通路約束；
- 遍歷環路節點附近的節點，如果可以和環路構成環路，添加約束；
- 遍歷通路附近的節點，如能構成通路，加入約束。
以上策略可用於破除環路和通路附近的小環和小通路。防止下一次求解在原地構成環路，但是其遍歷也是非常耗時的操作，需要衡量時間，選擇遍歷層數。
在程序運行過程中，最耗時的是lp求解部分，若能減少lp求解次數，能夠極大地提高收斂速度，而減少lp求解次數，可以在預處理時就，加入一些環路約束,其過程如下：
對起點，終點和必經節點進行一定層數的遍歷，若有環路存在，就加入到約束中，在程序中試過7層遍歷，前提是遍歷時間複雜度是
O(n) ，耗時很短，若在7層以上時，其耗時的代價就不會取得好的效果。
以上添加的約束基本上就包含了所有的環路優化策略，但是當環路如下圖所示時，整數規劃將會失去其求解優勢,尤其是權重都爲0,或很小的值時，還是暴力搜索，收斂速度快。
以上僅爲個人見解，歡迎指正。