字符串匹配算法 -- Rabin-Karp 算法
參考資料
1 算法導論
2 lalor
3 記憶碎片
Rabin-karp 算法簡介
在實際應用中，Rabin-Karp 算法對字符串匹配問題能較好的運行。Rabin-Karp 算法需要對字符串和模式進行預處理，其預處理時間爲 O ( m ) ，在最壞情況下的運行時間爲 O ( ( n-m+1 ) m ) ，但基於某種假設（不知道是何種假設），它的平均情況下的運行時間還是比較好的。
爲了便於說明，假設 ∑ = { 0，1，2.....9 }，這樣每個字符都是一個十進制數字。（對於更一般的情況，可以假設每個字符都是基數爲 d 的表示法中的一個數字，d = | ∑ | 。）可以用一個長度爲 k 的十進制數來表示由
k 個連續字符組成的字符串。因此，字符串31415 就對應於十進制數 31415 。
已知一個模式 P[ 1.. m ]，設 p 表示該模式所對應的十進制數的值（如模式 P = "31415" ，數值p = 31415）。對於給定的文本 T [ 1.. n ]，用 ts 來表示其長度爲 m 的子字符串 T
[ s+1.. s+m ] （s = 0，1，.. n-m）相對應的十進制數的值。ts = p 當且僅當 T [ s+1.. s+m ] = P[ 1.. m ] ，因此 s 是有效位移當且僅當 ts = p 。
預處理 -- p 和 t0
於是應用霍納法則（Horner's Rule）在 O ( m ) 的時間內計算 p 的值：
p = P[ m ] + 10( P[ m-1 ] + 10 ( P[ m-2 ] + .. + 10( P[ 2] + P[ 1 ]) ... ))
類似的，也可以在 O ( m ) 時間內根據 T[ 1.. m ] 計算出 t0 的值。
爲了在 O ( n - m ) 的時間內計算出剩餘的值 t1，t2，...，t ( n - m )，可以在常數時間內根據 ts 計算出 t ( s+1 )。因爲
t ( s + 1) = 10 ( ts - 10^(m-1) T [ s+1 ] ) + T [ s + m +1] ( 1 )
事實上，就是去掉最高位，然後左移了一位，在加上 T [ s + m +1] ，就得到了 t
( s + 1) 。
預處理的時間爲 O ( m )
字符串匹配
當進行完預處理之後，就可以執行字符串匹配了。我們只需要將 ti ( i = 0 , 1 , ... n-m ) 與 p 進行比較，相等則爲合法匹配，否則爲非法匹配。整個匹配過程的時間爲 O ( n -m + 1 )
然而，上述問題對於模式 p 的長度較小時，比較方便。當 p 和 ts 的值很大時，p 的結果會太大，以至於不能很好的處理這類問題 。所以纔有了下面的改進版本。
補救方法
對一個合適的模 q 來計算 p 和 ts 的模。每個字符是一個十進制數，因爲 p ，t0 以及遞歸式 1 計算過程都可以對模 q 進行，所以可以在 O ( m ) 時間內計算出模 q 的 p 值。在時間 O( n-m+1 ) 計算出模 q 的所有 ts 值。通常選模 q 爲一個素數，使得 10q 正好爲一個計算機字長。
在一般情況下，採用 d 進制的字母表 { 0 ，1，... ，d - 1 } 時，所選取的 q 要滿足使 dq 的值在一個計算機字長內，並調整遞歸式 ( 1 ) 以使對模 q 進行運算，使其成爲
t ( s + 1) = ( d ( ts - T [ s+1 ] h ) + T [ s + m +1] ) mod q
其中 h ≡ d ^ ( m-1 ) (mod q) 。
加入模 q 後，我們已經不能通過 ts ≡
p (mod q ) 並不能說明 ts = p 。當 ts ≡
p (mod q ) 不成立時，則肯定 ts != p 。因此，當 ts ≡
p (mod q ) 時我們還需要進一步進行測試，看看 ts 是否等於 p ，因爲 ts 可能是匹配的也有可能是僞匹配的。
這個算法就是有點使用hash的思想了。把模式字符串進行一個預處理，並mod，主字符串進行逐個進行簡單的hash映射，然後mod比較。
僞代碼如下
RABIN-KARP-MATCHER( T,P,d,q)
1 n ← length[ T ]
2 m ← length[ P]
3 h ← d^(m-1) mod q
4 p ← 0
5 t0 ← 0
6 for i ← 1 to m Preprocessing(預處理)
7 do p ← (dp + P[i]) mod q
8 t0 ← (dt0 + T[i]) mod q
9 for s ← 0 to s-m Matching( 匹配 )
10 do if p = t
11 then if P[1..m] = T[s+1..s+m] 對p 和 T 中的每個字符進行判斷
12 then print "匹配"
13 if s < n - m
14 then t(s+1) ← (d (ts - T[s+1] h) + T[s+m+1]) mod q
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* @desc:
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* @history
*/
// d = 256 ; q = 127
void RABIN_KARP_MATCHER( char *T, char *P, int q)
{
assert( T && P && q > 0 );
int M = strlen( P );
int N = strlen( T );
int i, j;
int p = 0;//hash value for pattern
int t = 0;//hash value for txt
int h = 1;
//the value of h would be "pow( d, M - 1 ) % q "
for( i = 0; i < M - 1; i++)
h = ( h * d ) % q;
for( i = 0; i < M; i++ )
{
p = ( d * p + P[i] ) % q;
t = ( d * t + T[i] ) % q;
}
//Slide the pattern over text one by one
for( i = 0; i <= N - M; i++)
{
if( p == t)
{
for( j = 0; j < M; j++)
if(T[i+j] != P[j])
break;
if( j == M )
printf("Pattern occurs with shifts: %d\n", i);
}
//Caluate hash value for next window of test:Remove leading digit,
//add trailling digit
if( i < N - M )
{
t = ( d * ( t - T[i] * h ) + T[i + M] ) % q;
if( t < 0 )
t += q;//按照書上的僞代碼會出現t爲負的情況，則之後的計算就失敗了。
}
}
} Rabin-Karp-Matcher 的預處理時間爲 O ( m ) ，其匹配時間在最壞情況下爲 O ( ( n- m + 1) m) ，雖然 Rabin-Karp-Matcher 在最壞的情況下與樸素匹配一樣，但是實際應用中往往比樸素算法快很多，應用還是很廣的。