蓄水池抽樣算法 (Reservoir Sampling Algorithm)

蓄水池抽樣算法簡介

蓄水池抽樣算法是隨機算法的一種，用來從N個樣本中隨機選擇K個樣本，其中N非常大（以至於N個樣本不能同時放入內存）或者N是一個未知數。其時間複雜度爲O(N)，包含下列步驟 (假設有一維數組 S, 長度未知，需要從中隨機選擇 k 個元素, 數組下標從 1 開始), 僞代碼如下：

array R[k];    // result
integer i, j;

// fill the reservoir array
for each i in 1 to k do
    R[i] := S[i]
done;

// replace elements with gradually decreasing probability
for each i in k+1 to length(S) do
    j := random(1, i);   // important: inclusive range
    if j <= k then
        R[j] := S[i]
    fi
done

算法首先創建一個長度爲K的數組（蓄水池）用來存放結果，初始化爲S的前k個元素，然後從k+1個元素開始迭代直到數組結束，算法生成一個隨機數j∈[1, i]，如果 j ≤ k，那麼蓄水池的第 j 個元素被替換爲S的第i個元素。

算法的正確性證明

定理：該算法保證每個元素以 k / n 的概率被選入蓄水池數組。

證明：首先，對於任意的 i，第 i 個元素進入蓄水池的概率爲 k / i；而在蓄水池內每個元素被替換的概率爲 1 / k; 因此在第 i 輪第j個元素被替換的概率爲 (k / i ) * (1 / k) = 1 / i。 接下來用數學歸納法來證明，當循環結束時每個元素進入蓄水池的概率爲 k / n.

假設在 (i-1) 次迭代後，任意一個元素進入 蓄水池的概率爲 k / (i-1)。有上面的結論，在第 i 次迭代時，該元素被替換的概率爲 1 / i， 那麼其不被替換的概率則爲 1 - 1/i = (i-1)/i；在第i 此迭代後，該元素在蓄水池內的概率爲 k / (i-1) * (i-1)/i = k / i. 歸納部分結束。

因此當循環結束時，每個元素進入蓄水池的概率爲 k / n. 命題得證。

算法實現

#include<iostream>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;

vector<int> ReservoirSampling(vector<int>& v, int n, int k){
    if (k > n || v.size() != n)return vector<int>{};

    vector<int> res(v.begin(), v.begin() + k);
    int i = 0, j = 0;
    for (int i = k; i < n; i++){
        j = rand() % (i + 1);  // inclusive range [0, i]
        if (j < k){
            res[j] = v[i];
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    vector<int> v(10, 0);
    for (int i = 0; i < 10; ++i) v[i] = i + 1;

    srand((unsigned int)time(NULL));
    // test algorithm RUN_COUNT times
    const int RUN_COUNT = 10000;
    int cnt[11] = { 0 };
    for (int k = 1; k <= RUN_COUNT; ++k)
    {
        cout << "Running Count " << k << endl;

        vector<int> samples = ReservoirSampling(v, 10, 5);

        for (size_t i = 0; i <samples.size(); ++i)
        {
            cout << samples[i] << " ";
            cnt[samples[i]]++;
        }
        cout << endl;
    }

    // output frequency stats
    cout << "*************************" << endl;
    cout << "Frequency Stats" << endl;
    for (int num = 1; num < 11; ++num)
    {
        cout << num << " : \t" << cnt[num] << endl;
    }
    cout << "*************************" << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

結果如圖所示：

算法侷限性

蓄水池算法的基本假設是總的樣本數很多，不能放入內存，暗示了選擇的樣本數k是一個與n無關的常數，然而在實際的應用中，k常常與n相關，比如我們想要隨機選擇1/3的樣本（k = n / 3），這時候需要別的算法或者分佈式算法。