IEEE浮點數表示法

IEEE浮點數表示法
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float 共計32位(4字節)
由最高到最低位分別是第31、30、29、......、0位
31位是符號位，1表示該數爲負，0反之
30~23位，一共8位是指數位(-128~127)
22~ 0位，一共23位是尾數位
每8位分爲一組，分成4組，分別是A組、 B組、 C組、 D組
每一組是一個字節，在內存中逆序存儲，即: DCBA

   31 30    23 22                    0
   |-|--------|-----------------------|
   | |        |                       |
   |-|--------|-----------------------|

注: 尾數的存儲位爲23位，由於沒有存儲最高位的1，所以實際有效位爲24位。如果其中20位都用來表示小數部分，能表示的最大值爲0.999999

    我們先不考慮逆序存儲的問題，因爲那樣會把讀者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。



純整數的表示方法
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    現在讓我們按照IEEE浮點數表示法，一步步的將float型浮點數123456.0f轉換爲十六進制代碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接將整數部轉化爲二進制表示:
1 11100010 01000000
也可以這樣表示:
1 11100010 01000000.0

然後將小數點向左移，一直移到離最高位只有1位:
1.11100010 01000000

一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等於在以2爲底的科學計算法表示中指數+1，所以原數就等於這樣
1 11100010 01000000 =
1.11100010 01000000 * (2^16)
現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因爲你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧?(呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我)，所以這個1我們還有必要保留他嗎?(衆：沒有!)好的，我們刪掉他。這樣尾數的二進制就變成了: 11100010 01000000 最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：
11100010 01000000 0000000 (MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去)

    再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0 ~ 255的無符號整數，也可以表示-128~127的有符號整數。但因爲指數是可以爲負的，所以爲了統一把十進制的整數化爲二進制時，都先加上127。
    在這裏，我們的16加上127後就變成了143，二進制表示爲:
10001111

    123456.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來:

0 10001111 11100010 01000000 0000000
再轉化爲16進製爲：47 F1 20 00，最後把它翻過來，就成了: 00 20 F1 47



輸出4個字節的浮點數內存數據
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#include <stdio.h>

int main()
{
    float f = 123456.0;

    unsigned char * c = (char *)&f;
    int i = 0;
    for (i = 3; i >= 0; i--)
        printf("%p/n", c[i]);
}


0x47
0xf1
0x20
(nil)





整數和小數混合的表示方法
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    有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下爲什麼會出現精度問題。

    按照IEEE浮點數表示法，將float型浮點數123.456f轉換爲十六進制代碼。對於這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進制: 1111011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反着講效果好一點，比如有一個十進制純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000 ...，這些位階分母的關係是10^1、 10^2、 10^3...，現假設每一位的序列是{S1、 S2、 S3、 ...、 Sn}，在這裏就是5、 7、 8、 2、 6，而這個純小數就可以這樣表示：
n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))
把這個公式推廣到b進制純小數中就是這樣：
n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))

    天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了!沒辦法，爲了廣大編程愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進制純小數比如0.100101011就應該比較好理解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625...。乘以S序列中的1或着0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.456這個十進制純小數，該如何表示呢?現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。

    我想你已經迫不及待的想要看答案了，因爲你發現這跟本算不出來！來看一下步驟：
1/2^1位(爲了方便，下面僅用2的指數來表示位)，0.456小於位階值0.5故爲0；1/2^2位，0.456大於位階值0.25，該位爲1，並將0.456減去0.25得0.206進下一位；1/2^3位，0.206大於位階值0.125，該位爲1，並將0.206減去0.125得0.081進下一位；1/2^4位，0.081大於0.0625，爲1，並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；1/2^5位0.0185小於0.03125，爲0...。問題出來了，即使超過尾數的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點數精度問題了。不過我在這裏不是要給大家講《數值計算》，用各種方法來提高計算精度，因爲那太龐雜了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這裏就僅把浮點數表示法講清楚便達到目的了。
0.456    0.5 (1/2^1)   0.456   < 0.5      0      0.456-0.5*0      = 0.456  
0.456    0.25(1/2^2)   0.456   > 0.25     1      0.456-0.25*1     = 0.206
0.206    0.125         0.206   > 0.125    1      0.206-0.125*1    = 0.081
0.081    0.0625        0.081   > 0.0625   1      0.081-0.0625*1   = 0.0165
0.0165   0.03125       0.0165 -< 0.03125 -0      0.0165-0.03125*0 = 0.0165
0.0165   0.015625      0.0165 -> 0.015625 1      0.0165-0.015625*1= 0.000875


    OK，我們繼續。嗯，剛說哪了?哦對對，那個數還沒轉完呢，反正最後一直求也求不盡，加上前面的整數部算夠24位就行了(最高位的1不存入內存)：
1111011. 011101001 01111001。某BC問：“不是23位嗎？”我：“倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎?當然要加一位嘍!”現在開始向左移小數點，大家和我一起移，衆：“1、2、3...”好了，一共移了6位，6加上127得133(怎麼跟教小學生似的?呵呵)，二進制表示爲：10000101，符號位爲...再...不說了，越說越囉嗦，大家自己看吧：

0 10000101 11101101110100101111001
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42



將小數部分換算成二進制
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#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
    float f;
    f = 0.456;

    int i, j;
    unsigned char c[23];
    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
        if (f > pow(2, i)) {
            c[j] = 1;
            printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);
            f = f - pow(2, i);
        }
        else {
            c[j] = 0;
            printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);
        }
    }
}

純小數的表示方法
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    下面再來講如何將純小數轉化爲十六進制。對於純小數，比如0.0456，我們需要把他規格化，變爲1.xxxx*(2^n)的型式，要求得純小數X對應的n可用下面的公式:
    n = int(-1+log(2)X);

    0.0456我們可以表示爲1.4592乘以以2爲底的-5次方的冪，即1.4592*(2^-5)。轉化爲這樣形式後，再按照上面第二個例子裏的流程處理:

1. 01110101100011100010001
去掉第一個1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0 01111010 01110101100011100010001
最後：
11 C7 3A 3D

另外不得不提到的一點是0.0f對應的十六進制是00 00 00 00，記住就可以了。



將十進制的純小數用二進制表示
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#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
    float f;
    int i, j;
    f = 0.0456;
    i = (int)(-1 + log(f)/log(2));
    f = f / pow(2, i);
    f = f - 1;

    unsigned char c[23];
    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
        if (f > pow(2, i)) {
            c[j] = 1;
            printf("%d", c[j]);
            f = f - pow(2, i);
        }
        else {
            c[j] = 0;
            printf("%d", c[j]);
        }
    }
    printf("/n");
}


01110101100011100010000

爲什麼最後一位不一致！ 是不是需要計算24位(011101011000111000100001)，然後將最後一位進位！