计算 n! 中质因子个数
方法一:直接从 1~n 遍历确认质因子个数
int cal(int n,int p){
int ans=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
int temp=i;
while(temp%p==0){
ans++;
temp/=p;
}
}
return ans;
}
方法二:n! 中质因子 p 个数= (n/p+n/p^2+n/p^3+...)
int cal(int n,int p){
int ans=0;
while(n){
ans+=n/p;
n/=p;
}
return ans;
}
方法三:n! 中质因子 p 的个数,实际上等于1~n 中 p 的倍数的个数 n/p 加上 n/p! 中质因子 p 的个数
int cal(int n,int p){
if(n<p) return 0;
return n/p+cal(n/p,p);
}
组合数C(n,m)
1.定义式(可能溢出)
long long C(long long n,long long m){
long long ans=1;
for(long long i=1;i<=n;i++){
ans*=i;
}
for(long long i=1;i<=m;i++){
ans/=i;
}
for(long long i=1;i<=n-m;i++){
ans/=i;
}
return ans;
}
2.递推公式 C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
long long C(long long n,long long m){
if(m==0||m==n) return 1;
return C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}
long long res[67][67]={0};
long long C(long long n,long long m){
if(m==0||m==n) return 1;
if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
return res[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}
n=67、m=33溢出
3.定义式的变形
long long C(long long n,long long m){
long long ans=1;
for(long long i=1;i<=m;i++){
ans=ans*(n-m+i)/i;
}
return ans;
}
n=62、m=31溢出
计算C(n,m)%p
方法一:递推公式
//递归
int res[1010][1010]={0};
int C(int n,int m,int p){
if(m==0||m==n) return 1;
if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
return res[n][m]=(C(n-1,m)+C(n-1,m-1))%p;
}
//递推
void calC(){
for(int i=0;i<=n;i++){
res[i][0]=res[i][i]=1;
}
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=i/2;j++){
res[i][j]=(res[i-1][j]+res[i-1][j-1])%p;
res[i][i-j]=res[i][j];
}
}
}
方法二:定义式
int prime[maxn];
int C(int n,int m,int p){
int ans=1;
for(int i=0;prime[i]<=n;i++){
int c=cal(n,prime[i])-cal(m,prime[i])-cal(n-m,prime[i]);
ans=ans*binaryPow(prime[i],c,p)%p; //快速幂a^b%m;
}
return ans;
}
方法三:定义式变形