三个桶等分八升水

三个桶等分八升水

​ 有这样一道智力题目：有三个容积分别是3升、5升和8升的水桶，其中容积为8升的水桶中装满了水，容积为3升和容积为5升的水桶是空的。3个水桶都没有体积刻度，现在需要将大水桶中的8升水等分成两份，每份都是4升水，附加条件是只能使用另外两个空水桶，不能借助其他辅助容器。

​ 这是一个很经典的问题，但是并不难，大部分人都可以在一分钟内给出答案。不过，很多人可能没有注意到，这个问题的答案不止一个。先来看一个最常见的答案，也是目前已知最快的操作步骤，一共倒水7次。

1）从8升水桶中倒5升水到5升水桶中
2）从5升水桶中倒3升水到3升水桶中
3）从3升水桶中倒3升水到8升水桶中
4）从5升水桶中倒2升水到3升水桶中
5）从8升水桶中倒5升水到5升水桶中
6）从5升水桶中倒1升水到3升水桶中
7）从3升水桶中倒3升水到8升水桶中

​ 最后的结果是5升水桶和8升水桶中各有升水，其实还有很多种答案，我们就不一一列举了，到底有多少种答案？水从水桶间倒来倒去，情况太多了，我们算不出来，但是计算机可以。设计一个算法，让计算机帮助我们把所有的答案都找出来，这就是本章的内容。

问题与求解思路

​ 如果用人的思维方式，那么解决这个问题的关键是怎么通过倒水凑出确定的1升水或能容纳1升水的空间，三只水桶的容积分别是3、5和8，用这三个数做加减运算，可以得到很多组答案，例如：

3 - (5 - 3) = 1

​ 但是计算机并不能理解这个“1”的重要性，很难按照人类的思维方式按部就班地推导答案，因此计算机解决这个问题，通常会用“穷举法”。为什么用“穷举法”呢？因为这不是一个典型意义上的求解最优解的问题，虽然可能暗含了求解倒水次数最少的方法的要求，但就本质而言，常用的求解最优解问题的高效方法都不适用于此问题。如果能够穷举解空间的全部合法解，然后通过比较找到最优解也是一种求解最优解的方法。

倒水动作的数学模型

​ 一个合法的倒水动作包含三个要素：倒出水的桶、倒入水的桶和倒水体积。我们用一个三元组来描述倒水动作：<font face =“consolas">{from, to, water}from是指从哪个桶中倒水，to是指将水导向哪个桶，water是此次倒水动作所倒的水量。倒水动作的数据结构定义如下。

typedef struct tagACTION{
    int from;
    int to;
    int water;
}ACTION;

​ 包含动作的倒水状态定义如下：

struct BucketState
{
    ···
    int bucket_s[BUCKET_COUNT];
    ACTION cuiAction;
};

状态树的遍历

bool BucketState::CanTakeDumpAction(int from, int to)
{
    assert((from >= 0) && (from < BUCKETS_COUNT));
    assett((to >= 0) && (to < BUCKETS_COUNT));
    
    if( (from != 0)
       && !IsBucketEmpty(from)
       && !IsBucketEmpty(to) )
    {
        return true;
    }
        
    return false;
}