揹包問題總結

0-1揹包

1.採藥問題

題目描述
辰辰是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成爲世界上最偉大的醫師。爲此，他想拜附近最有威望的醫師爲師。醫師爲了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裏對他說：“孩子，這個山洞裏有一些不同的草藥，採每一株都需要一些時間，每一株也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裏，你可以採到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。”

如果你是辰辰，你能完成這個任務嗎？

輸入格式
第一行有22個整數T(1 \le T \le 1000)T(1≤T≤1000)和M(1 \le M \le 100)M(1≤M≤100)，用一個空格隔開，TT代表總共能夠用來採藥的時間，MM代表山洞裏的草藥的數目。
接下來的MM行每行包括兩個在11到100100之間（包括11和100100）的整數，分別表示採摘某株草藥的時間和這株草藥的價值。

輸出格式
11個整數，表示在規定的時間內可以採到的草藥的最大總價值。

輸入輸出樣例
輸入

70 3
71 100
69 1
1 2

輸出

3

分析
普通的0-1揹包，求最大的收益

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int MAXN=1000;
int w[MAXN],v[MAXN];
int dp[MAXN];
int main(){
    int n,m;//容量爲n,物品有m個
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){//上到下,關於第i個物品選與不選
        for(int j=n;j>=w[i];j--){//右到左，關於選與不選對應的收益
            dp[j]=max(dp[j-w[i]]+v[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

2.開心的金明

題目描述
金明今天很開心，家裏購置的新房就要領鑰匙了，新房裏有一間他自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎麼佈置，你說了算，只要不超過N元錢就行”。今天一早金明就開始做預算，但是他想買的東西太多了，肯定會超過媽媽限定的N元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分爲5等：用整數1-5表示，第5等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是整數元）。他希望在不超過N元（可以等於N元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大，請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單。

輸入格式
第1行，爲2個正整數，用一個空格隔開：n m（其中N(<30000)表示總錢數，m(<25)爲希望購買物品的個數。）
從第2行到第m+1行，第j行給出了編號爲j−1的物品的基本數據，每行有22個非負整數 v p（其中v表示該物品的價格(v≤10000)，p表示該物品的重要度(1−5)

輸出格式
1個正整數，爲不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的最大值(<100000000)。

輸入輸出樣例
輸入

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

輸出

3900

分析
普通的0-1揹包，但要注意w，v數組和dp數組開的大小與那些因素有關

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=30;
int v[MAXN],w[MAXN];//v爲價格,w爲重要度，開的大小與物品數目有關
int dp[30005];//dp開的大小與揹包容量有關
int main(){
    int n,m;//n爲揹包容量,m爲物品數
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
        v[i]=v[i]*w[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=n;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);//這裏的變化爲橫向，即揹包容量
            //cout<<dp[j]<<endl;
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

3.裝箱問題

題目描述
有一個箱子容量爲V（200000≤V≤20000），同時有n個物品（300<n≤30），每個物品有一個體積（正整數）。
要求n個物品中，任取若干個裝入箱內，使箱子的剩餘空間爲最小。

輸入格式
1個整數，表示箱子容量
1個整數，表示有n個物品
接下來n行，分別表示這n個物品的各自體積

輸出格式
1個整數，表示箱子剩餘空間。

輸入

24 6
8
3
12
7
9
7

輸出

0

分析
注意分析什麼是模板中的變量的轉換，比如什麼是揹包容量，什麼是價值，什麼是重量，這道題轉化爲求裝入若干個物品使其體積和最大

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=50;
int w[MAXN],v[MAXN];
int dp[30005];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>w[i];
        v[i]=w[i];//這個題的物品重量等同於價值
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=n;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<n-dp[n]<<endl;
}

4.小A點菜

題目描述
不過uim由於買了一些書，口袋裏只剩M元(M≤10000)。餐館雖低端，但是菜品種類不少，有N種（N≤100)，第i種賣ai元(ai ≤1000)。由於是很低端的餐館，所以每種菜只有一份。小A奉行“不把錢吃光不罷休”，所以他點單一定剛好吧uim身上所有錢花完。他想知道有多少種點菜方法。由於小A肚子太餓，所以最多隻能等待1秒。
輸入格式
第一行是兩個數字，表示N和M。第二行起N個正數ai（可以有相同的數字，每個數字均在1000以內）。
輸出格式
一個正整數，表示點菜方案數，保證答案的範圍在intint之內。
輸入

4 4
1 1 2 2

輸出

3

分析
這道題屬於0-1揹包中算方法種類的題，和普通的0-1揹包沒什麼大的區別，注意dp的初始化以及遞推公式就可以

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=101;
int w[MAXN];
int dp[10001]={1};//求方法種類的題初始化爲1
int main(){
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>w[i];
        for(int j=n;j>=w[i];j--){
            dp[j]=dp[j]+dp[j-w[i]];//選與不選兩種方案數的和
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

5.最大約數和

題目描述
選取和不超過S的若干個不同的正整數，使得所有數的約數（不含它本身）之和最大。

輸入格式
輸入一個正整數S。

輸出格式
輸出最大的約數之和。

輸入

11

輸出

9

說明/提示
取數字4和6，可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9。

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=2000;
int v[MAXN];
int dp[10000];
int main(){
    int n,m;
    cin>>m;
    n=m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(i%j==0) v[i]+=j;
        }
        //cout<<i<<":"<<v[i]<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=n;j>=i;j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+v[i]);//數字本身爲重量,數字的約數之和爲價值
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

6.精衛填海

題目描述
發鳩之山，其上多柘木。有鳥焉，其狀如烏，文首，白喙，赤足，名曰精衛，其名自詨。是炎帝之少女，名曰女娃。女娃遊於東海，溺而不返，故爲精衛。常銜西山之木石，以堙於東海。——《山海經》
精衛終於快把東海填平了！只剩下了最後的一小片區域了。同時，西山上的木石也已經不多了。精衛能把東海填平嗎？
事實上，東海未填平的區域還需要至少體積爲v的木石纔可以填平，而西山上的木石還剩下n塊，每塊的體積和把它銜到東海需要的體力分別爲k和m。精衛已經填海填了這麼長時間了，她也很累了，她還剩下的體力爲c。

輸入格式
輸入文件的第一行是三個整數：v、n、c。
從第二行到第n+1行分別爲每塊木石的體積和把它銜到東海需要的體力。

輸出格式
輸出文件只有一行，如果精衛能把東海填平，則輸出她把東海填平後剩下的最大的體力，否則輸出’Impossible’（不帶引號）。

輸入

100 2 10
50 5
50 5

輸出

0

輸入

10 2 1
50 5
10 2

輸出

Impossible

分析
這道題稍微有點不同，這道題是算揹包容量能剩下多少，所以在計算出各個dp後，要揹包容量從1開始遞增看是否能夠滿足，然後輸出剩下的最大體力.

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=10005;
int w[MAXN]; int v[MAXN];
int dp[20000];
int main(){
    int s,m,n;//s爲剩下沒填的體積,m爲物品件數,n爲揹包容量
    cin>>s>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=n;j>=w[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);//計算當前剩餘體力能搬的最大體積數
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){//遍歷各個揹包容量
        if(dp[i]>=s) {cout<<n-i<<endl; return 0;}
    }
    //if(dp[n]>=s) cout<<dp[n]-s<<endl; //錯誤，因爲在之前就可能已經滿足了，沒求到剩下的最大體力
    cout<<"Impossible"<<endl;
    return 0;
}

7.集合 Subset Sums

題目描述
對於從 1∼n 的連續整數集合，能劃分成兩個子集合，且保證每個集合的數字和是相等的。舉個例子，如果 n=3，對於{1,2,3} 能劃分成兩個子集合，每個子集合的所有數字和是相等的：{3} 和 {1,2} 是唯一一種分法（交換集合位置被認爲是同一種劃分方案，因此不會增加劃分方案總數）如果n=7，有四種方法能劃分集合 {1,2,3,4,5,6,7}，每一種分法的子集合各數字和是相等的:

{1,6,7} 和 {2,3,4,5}
{2,5,7} 和 {1,3,4,6}
{3,4,7} 和 {1,2,5,6}
{1,2,4,7} 和 {3,5,6}

給出 n，你的程序應該輸出劃分方案總數。

輸入格式
輸入文件只有一行，且只有一個整數 n

輸出格式
輸出劃分方案總數。

輸入

7

輸出

4

分析
方法類的揹包問題，注意揹包容量是總的和的一半，而最終求的是劃分而不是集合，所以要除以2

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=100;
long long dp[1000]={1};//方法種類的揹包問題，初始化爲1
int main(){
    int m,n;
    cin>>m;
    n=m;//n爲物品數
    if((1+m)*m/2%2==0) m=(1+m)*m/2;//總的和，其一半是揹包的容量
    else{
        cout<<0; return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m/2;j>=i;j--){
            dp[j]=dp[j]+dp[j-i];//選與不選
        }
    }
    cout<<dp[m/2]/2<<endl;//因爲求的是劃分數而不是和爲m/2的集合數
}

完全揹包

1.瘋狂的採藥

題目描述
LiYuxiang是個天資聰穎的孩子，他的夢想是成爲世界上最偉大的醫師。爲此，他想拜附近最有威望的醫師爲師。醫師爲了判斷他的資質，給他出了一個難題。醫師把他帶到一個到處都是草藥的山洞裏對他說：“孩子，這個山洞裏有一些不同種類的草藥，採每一種都需要一些時間，每一種也有它自身的價值。我會給你一段時間，在這段時間裏，你可以採到一些草藥。如果你是一個聰明的孩子，你應該可以讓採到的草藥的總價值最大。”

如果你是LiYuxiang，你能完成這個任務嗎？
此題和原題的不同點：
1.每種草藥可以無限制地瘋狂採摘。
2.藥的種類眼花繚亂，採藥時間好長好長啊！師傅等得菊花都謝了！

輸入格式
輸入第一行有兩個整數T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一個空格隔開，T代表總共能夠用來採藥的時間，M代表山洞裏的草藥的數目。接下來的M行每行包括兩個在1到10000之間（包括1和10000）的整數，分別表示採摘某種草藥的時間和這種草藥的價值。

輸出格式
輸出一行，這一行只包含一個整數，表示在規定的時間內，可以採到的草藥的最大總價值。

輸入

70 3
71 100
69 1
1 2

輸出

140

分析
完全揹包要修改j的遍歷方式，需要反着來

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=10005;
int w[MAXN],v[MAXN];
int dp[100005];

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=w[i];j<=n;j++){//完全揹包和0-1揹包這裏是反着的
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

2.神奇的四次方數

題目描述
將一個整數m分解爲n個四次方數的和的形式，要求n最小。例如，m=706,706=5⁴⁺³4,則n=2。

輸入格式
一行，一個整數m。

輸出格式
一行，一個整數n。

輸入

706

輸出

2

分析
這道題因爲求的是最小，所以要將dp初始化爲一個比較大的數，並且dp[0]=0；
相當於給一個初始值，含義爲容量爲0時最少選擇0個數.

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<math.h>
using namespace std;
const int MAXN=100;
int w[MAXN];//每個的w都是1
int dp[1000001];
int main(){
    //下面這兩步一定要寫
    memset(dp,63,sizeof(dp));
    //給了一個初始值，不然結果會是一個很大的數，其含義代表容量爲0時最少選擇0個數
    dp[0]=0;
    int n,m;//n爲揹包容量
    cin>>n;
    for(int i=1;pow(i,4)<=n;i++){
        w[i]=i*i*i*i;
        m=i;//m表示物品的數目
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=w[i];j<=n;j++){//v[i]是1
            dp[j]=min(dp[j],dp[j-w[i]]+1);
//            cout<<dp[j]<<endl;
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

分組揹包

1.通天之分組揹包

題目描述
自01揹包問世之後，小A對此深感興趣。一天，小A去遠遊，卻發現他的揹包不同於01揹包，他的物品大致可分爲k組，每組中的物品相互衝突，現在，他想知道最大的利用價值是多少。

輸入格式
兩個數m,n，表示一共有n件物品，總重量爲m
接下來n行，每行3個數ai,bi,ci，表示物品的重量，利用價值，所屬組數

輸出格式
一個數，最大的利用價值

輸入

45 3
10 10 1
10 5 1
50 400 2

輸出

10

分析
分組揹包採用結構體數組，其下標代表組數，內部的w，v數組存的是組內的元素情況，總組數要在輸入中算出，第二次遍歷也是先遍歷所有組，其本質相當於0-1揹包的問題
ps:但這道題5個測試點我只通過了三個，沒找到原因(╯°Д°)╯︵┻━┻

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=2000;

struct group{
    int group_size;//組的大小
    int w[MAXN],v[MAXN];
}G[1000];//下標代表組號
int dp[10000];
int main(){
    int n,m,s=0;//s代表組數
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        s=max(c,s);//統計總的組數
        G[c].group_size++;//c組內的成員增加
        int ci=G[c].group_size;
        G[c].w[ci]=a;
        G[c].v[ci]=a;
    }
    for(int i=1;i<=s;i++){//從上到下遍歷所有組
        for(int j=n;j>=0;j--){
            for(int k=1;k<=G[i].group_size;k++){//組內成員競爭，注意j不會變化
                if(j-G[i].w[k]>=0){//注意
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-G[i].w[k]]+G[i].v[k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}

2.金明的預算方案

題目描述
金明今天很開心，家裏購置的新房就要領鑰匙了，新房裏有一間金明自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎麼佈置，你說了算，只要不超過NN元錢就行”。今天一早，金明就開始做預算了，他把想買的物品分爲兩類：主件與附件，附件是從屬於某個主件的，下表就是一些主件與附件的例子：

主件 附件

電腦 打印機，掃描儀

書櫃 圖書

書桌 檯燈，文具

工作椅 無

如果要買歸類爲附件的物品，必須先買該附件所屬的主件。每個主件可以有0個、1個或2個附件。附件不再有從屬於自己的附件。金明想買的東西很多，肯定會超過媽媽限定的N元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分5等：用整數1−5表示，第5等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是10元的整數倍）。他希望在不超過N元（可以等於N元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。
請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單。

輸入格式
第11行，爲兩個正整數，用一個空格隔開：

n m（其中N(<32000)表示總錢數，m(<60)爲希望購買物品的個數。） 從第2行到第m+1行，第j行給出了編號爲j−1的物品的基本數據，每行有3個非負整數

v p q（其中v表示該物品的價格（v<10000），p表示該物品的重要度（1-5），q表示該物品是主件還是附件。如果q=0，表示該物品爲主件，如果q>0，表示該物品爲附件，q是所屬主件的編號）

輸出格式
一個正整數，爲不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的最大值（<200000）。

輸入

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

輸出

2200

分析
先轉化爲分組問題，假設有主(①)，從(②)，從(③)
所以得到一個組內四個相斥的成員：
①、①②、①③、①③

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=100;
struct group{
    int group_size;
    int w[MAXN],v[MAXN];
}G[2000];
int dp[32005];
//因爲每個主件可以有0個、1個或2個附件,所以對於組內只有四種相互排斥的情況，所以可以轉化爲分組揹包
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int v,p,q;
        cin>>v>>p>>q;
        if(q==0){//是這組的第一個,i就代表了組號
            G[i].group_size=1;
            G[i].w[1]=v;
            G[i].v[1]=p*v;
        }
        else{
            if(G[q].group_size==1){//一主一從,q代表所從屬的組
                G[q].group_size=2;
                G[q].w[2]=G[q].w[1]+v;//一個主，從一號
                G[q].v[2]=G[q].v[1]+p*v;
            }
            else{
                G[q].group_size=4;//
                G[q].w[3]=G[q].w[1]+v;//一個主，從二號
                G[q].v[3]=G[q].v[1]+p*v;
                G[q].w[4]=G[q].w[2]+v;//一個主，從一號，從二號
                G[q].v[4]=G[q].v[2]+p*v;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){//遍歷所有組
        for(int j=n;j>=0;j--){
            for(int k=1;k<=G[i].group_size;k++){//組內成員競爭
                if(j>=G[i].w[k]){//
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-G[i].w[k]]+G[i].v[k]);
                    //cout<<dp[j]<<endl;
                }
            }
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;

}