題目鏈接：神、上帝以及老天爺
AC代碼：
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
double fun (int m)
{
ll a[25],b[25];
a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1;a[3]=2;
for(int i=4;i<25;i++)
a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
b[0]=0;b[1]=1;
for(int i=2;i<25;i++)
b[i]=b[i-1]*i;
return (double)a[m]/b[m];
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
int m;
cin>>m;
double sum;
sum=fun(m)*100;
cout<<fixed<<showpoint<<setprecision(2);
cout<<sum<<"%"<<endl;
}
return 0;
}
錯排：
n個有序的元素應有n!個不同的排列，如若一個排列使得所有的元素不在原來的位置上，則稱這個排列爲錯排；有的叫重排。
如，1 2的錯排是唯一的，即2 1。1 2 3的錯排有31 2，2 3 1。這二者可以看作是1 2錯排，3分別與1、2換位而得的。
目錄
基本信息
錯排問題是組合數學發展史上的一個重要問題，錯排數也是一項重要的數。令
是
的一個錯排，如果每個元素都不在其對應下標的位置上，即
，那麼這種排列稱爲錯位排列，或錯排、重排（Derangement）。
我們從分析1 2 3 4的錯排開始：
1 2 3 4的錯排有:
4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，
3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，
2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。
第一列是4分別與123互換位置，其餘兩個元素錯排。
1 2 3 4->4 3 2 1，
1 2 3 4->3 4 1 2，
1 2 3 4-> 2 1 4 3
第2列是4分別與312（123的一個錯排）的每一個數互換
3 1 2 4->4 1 2 3，
3 1 2 4->3 4 2 1，
3 1 2 4->3 1 4 2
第三列則是由另一個錯排231和4換位而得到
2 3 1 4->4 3 1 2，
2 3 1 4->2 4 1 3，
2 3 1 4->2 3 4 1
上面的分析結果，實際上是給出一種產生錯排的結果。
錯排公式
遞推關係
爲求其遞推關係，分兩步走：
第一步，考慮第n個元素，把它放在某一個位置，比如位置k，一共有n-1种放法；
第二步，考慮第k個元素，這時有兩種情況：（1）把它放到位置n，那麼對於除n以外的n-1個元素，由於第k個元素放到了位置n，所以剩下n-2個元素的錯排即可，有
种放法；（2）第k個元素不放到位置n，這時對於這n-1個元素的錯排，有
种放法。
根據乘法和加法法則，綜上得到
特殊地，
。此外，存在
因此，
。
通項公式求解
下面利用遞推關係證明通項公式，可利用母函數方法，也可利用容斥原理。首先基於母函數方法進行證明，令
有遞推關係得
因此
，
，
而1/（1-x）可以替換成無窮級數（無窮遞縮等比數列）
故（由對應次數項係數相等）
此外，也可基於容斥原理進行證明。設
爲數i在第i爲上的全體排列，
。則有
故每個元素都不在原來的位置上的排列數爲
下面是一個實例解析：
希望可以幫到你！