挑戰運籌學——敏感度分析及對偶性

影子價格

將問題用數學形式完整地表達

• LP問題的一般形式
  

將數學符號簡化

• 我們將會學習在優化問題中改變$A_0, C_0 or B$會導致什麼。
• 在很多情況中，constraint同樣會變化，所以有關限制的研究也是要考慮的。

考慮一個案例

• $x_1$是每週生產士兵玩具的數量。
• $x_2$是每週生產火車的玩具數量。
• 三個限制分別是加工，雕刻和需求的限制。
  

關於$C_0$的變化

• 在這個案例中，可行域保持不變。隨着$C_0$的變化，目標函數輪廓的梯度也會發生變化。
• 考慮目標函數爲$z = (3+\phi )x_1+2x_2$
• 在$A=(20,60), z = (3+\phi )(20)+2(60)=180+20\phi$
• 當$\phi$增加的時候，目標函數會越來越陡峭，直至與線AB完全平行·，此時$\phi$的值爲。
  
• 當$\phi>1$，最優點移動到B，且Z的表達式爲
  
• 而當$\phi$減小的時候，最優點會保持在A直至$\phi = -1$
  
• 此時線段平行於AC，最優點可以出現在AC上的任意一點。
• 當$\phi<-1$，最優點從AC移動到C，Z的表達式爲。
  
  

關於B的變化

• 在這種情況下，可行域的邊界是平行移動的。因此可行區域的角點是移動的，但是當目標函數的梯度保持不變時，最優點仍保持在同一個(移動)角上，直到幾何變化使兩個角重合爲止。
  
• 在$c_i$後面添加$\Delta$是很容易理解的，就是將線段平行移動，這裏就不做多的解釋。

影子價格

• 我們知道管理人員要做的一件重要的事情常常是確定約束條件右端項的變化如何改變LP的最優z值。
• 所以，我們把LP的i個約束條件的影子價格定義爲第i個約束條件的右端項增加1時，最優z值改善的量。

例題1

• 找到第二個限制的影子價格
• 解決方案： 對於第二項約束(carpentry hour)，我們知道如果80 個木工小時，而當前的解是最優的，那麼對於LP問題的優化解是$x_1=20-\Delta$和$x_2=60+2\Delta$。最優的z值shi$3x_1+2x_2=3(20-\Delta)+2(60+\Delta)=180+\Delta$
• 所以只要當前基保持最優，可用拋光時間增加一個單位將使最優z值增加1美元。因此，第一個（拋光時間）的約束條件的影子價格是1美元。

例題2

• (a) 找到下列問題的解
  
• 易得
  
• 結果爲$x_1=15, x_2 = 6, z = 51$
  (b) 如果目標函數$x_2$的係數被替換成了$1+\phi$，$\phi$的範圍，使得最優結果不改變。當$\phi$超過上限時，新的可行域是什麼。

答：由題可知，新的目標函數爲$3x_1+(1+\phi)x_2$，梯度爲：
$-\frac{3}{1+\phi}$
爲了當前解保持最優，梯度L必須在$L_1$和$L_2$之間，它們的梯度分別是1和$-\frac{2}{3}$


所以$\phi$的範圍是$-4\leq \phi \leq 3.5$
當$\phi$>3.5的時候，斜率應該是小於-$\frac{2}{3}$，所以應該是過B點

重要公式

• LP可以寫作
  
• 把Dakota問題寫作
  
• 假設我們已經求出了(1)的最優解，設$BV_i$，是最優表第i行的基變量。此外定義$BV = \{BV_1, BV_2,..., BV_m\}$是最優表中基變量的集合，並定義m×1向量
  
• NBV則爲非基變量的集合
• $X_{NBV}$爲按照需要的順序列出非基變量(n-m)*1向量
  

LP問題的數學符號

• 然後我們嘗試用$B^{-1}$和第一條約束相乘，得到
  
• 對於Dakota問題，可以使用高斯-約當方法得到$B^{-1}$爲
  
• 由此可以得到
  
  
  
  

公式小結

• 其實無非就是看公式，做題然後找感覺。

敏感度分析

• 我們現在研究改變LP問題額的參數如何改變最優解。
• 對於LP的最優解與其參數的關係的分析稱爲靈敏度分析。
• 再回到之前Dakota問題的案例。
  

LP參數的6種變化

• 變化1：改變非基變量的目標函數係數。
• 變化2：改變基變量的目標函數係數
• 變化3：改變約束條件的右端項。
• 變化4：改變非基變量的列。
• 變化5：增加新的變量或活動
• 變化6：增加新的約束條件（見6.11節）

變化1：改變非基變量的目標係數

• 在Dakota問題中，唯一的非基本決策變量是$x_2$（餐桌）。$x_2$的目標函數係數目前是$C_2 = 30$。$c_2$的變化將如何影響Dakota問題的最優解呢？更確切地講$c_2$應該取什麼能保證$BV = \{s_1,x_3,x_1\}$保持最優呢？
• 首先我們將$c_2$從30改成$30+\Delta$時將如何改變BV表。注意，$B^{-1}$和b沒有變化，所以$(B^{-1}b)$沒有被改變，因此BV仍然是可行的。
• 由於$x_2$是非基變量，所以$c_{BV}$沒有被改變。由(10)可知，$c_2$的變化將改變其第0行係數的。
• 由(10)可知，$c_2$的變化將改變其第0行係數的唯一變量是$x_2$

其他的對照公式也算是大同小異

特別案例

• 問：如何快速求得$B^{-1}$
• 答：觀察可知Initial tableau中$s_1, a_2, a_3$構成了0-1矩陣，Final中0-1矩陣轉移，剩下的$s_1,a_2,a_3$求出的就是$B^{-1}$。

求LP的對偶

• 與一個LP有關的另一個LP稱爲對偶。知道LP及其對偶之間的關係對於理解線性和非線性規劃的高級內容。
• 在求給定LP的對偶時，我們把給定的LP稱爲原問題(primal)。如果原問題是max問題，那麼其對偶問題就是min問題。
• 我們首先解釋如何求其中所有變量都必須是非負數，並且所有約束都必須是≤約束條件的max問題（稱爲normal max problem）
• 一個規範max問題
  
• 一個這樣的規範max問題的對偶被定義爲
  * 像17這樣約束條件都是≥，並且所有變量都是非負數的min問題稱爲規範min問題。

獲得規範max問題和規範min問題的對偶

• 其實這個看着找規律即可
  

非規範對偶性

usr代表unrestricted-in-sign變量，爲無符號限制變量.

解決步驟

1. 第1步：填寫表格，使得可以橫着讀出。
2. 第2步：通過以下方式讀出對偶：
   a. 如果第i個原約束條件是≥約束條件，那麼對應的對偶變量$y_i$必須滿足$y_i\leq 0$
   b. 如果第i個原約束條件是等式的約束條件，那麼對應的對偶變量$y_i$將會是符號無限制變量。
   c. 如果第i個原變量是urs，那麼第i個對偶約束條件將是等式約束條件。