鴿巢原理

Pigeonhole principle

EXT : Pigeonhole Principle

Let $q_1,q_2,\cdots q_n$ be positive integer, put $-n + 1 + \sum_{i=1}^{n} q_i$ items into $n$ containers, either the first contains at least $q_1$ items, or the second contains at least $q_2$ items, …, or the $n$th contains at least $q_n$ items.

中國剩餘定理(CRT)

$m_1,m_2, \cdots , m_r \in \mathbb{N}$ are pairwise coprime , so for all $a_1 , a_2 , \cdots ,a_r$ we can find a $x$ s.t.

$x = a_i ( \bmod m_i ) \quad \forall i \in \{1,2 ,\cdots, r\}$

let $M = \prod _{i=1}^{r} m_i$ , $t_i$ is the inverse element for ${M \over m_i} (\bmod m_i)$.

$x = \sum_{i=1}^{r} a_i {M \over m_i} t_i$ is a solution

Ramsey 定理

Ramsey定理實際上是鴿巢原理的加強形式的擴展。

問題的引入

$K_6 \rightarrow K_3,K_3$ ： $K_6$中僅有紅藍兩種顏色的邊，一定存在一個紅色的$K_3$或者藍色的$K_3$。

Ramsey 定理

若存在最小整數$p$使得$K_p \rightarrow K_m,K_n$，記做$p = r(m,n)$爲Ramsey數，這樣的數一定存在。

Ramsey數的結論

1. $r(2,n) = r(n,2) = n$
2. $r(m,n) \le r(m-1,n) + r(m,n-1)$
3. $r(3,4) = 9$

r(3,4)= 9的證明

Ramsey 定理的推廣形式

滿足條件$K_p \rightarrow K_{n_1} , K_{n_2} , \cdots, K_{n_l}$ 的最小整數稱爲$r(n_1,n_2,\cdots , n_l)$

r(3,3,3) = 17

Ramsey 更一般的形式

給定一正整數$t$，及$q_1,q_2,\cdots q_k \ge t$,存在一個整數$p$，將其中每一個$t$元素子集指定爲$k$中顏色$c_1,c_2,\cdots,c_k$中的一種，滿足:

1. 存在$q_1$個元素，所有$t$子集都被染成指定顏色$c_1$
2. … …
3. 存在$q_k$個元素，所有$t$子集都被染成指定顏色$c_k$

則$r_t(q_1,\cdots,q_k)$爲最小的$p$

特例

The Strong form of Pigeonhole Principle :$r_1(q_1,q_2,\cdots,q_k) = q_1 + q_2 + \cdots + q_k + n - 1$