A 疊加定理

在討論系統時，我們往往會標出這個系統的輸入和輸出。下面討論單輸入單輸出系統：

如果這個系統是線性的，那麼對於這個單輸入單輸出系統來講，我們一定可以寫成 $y=ax$ 的形式，其中a是一個由系統確定的係數。
線性系統有兩個性質： $y=ax\begin{cases}齊次性：x\rightarrow kx\qquad y\rightarrow ky \\ 可加性：x\rightarrow x_1+x_2\qquad y\rightarrow y_1+y_2\qquad (y_1,y_2分別是x_1和x_2的輸出)\end{cases}$

如果這個系統是雙輸入單輸出：

輸出要寫成輸入的線性組合
$y=ax_1+bx_2$
如果把這個線性系統落實在電路中：

輸入：獨立電壓源，獨立電流源等
系統構成：各種線性電阻，線性受控源等
輸出：任何一個支路的電壓或者電流。

系統可以進一步表示成： $\begin{cases}y'=ax_1 \\ y''=bx_2\end{cases}\rightarrow y=y'+y''$
$y'$ 是對於系統中 $x_2=0$ ， $y''$ 是對於 $x_1=0$ ，這就提示我們由於 $x_1和x_2$ 都分別是獨立源。
因此，我們在求解電路中任何一個支路的時候，就可以嘗試着把一個獨立源單獨作用，其他獨立源置零，得到某一個支路量的分量 $y'$ ，然後得到另一種情況下的分量 $y''$ ，把這兩種分量相加，就得到原來的那個支路量 $y$ 。這就構成了我們要討論的一個重點——疊加定理。

例子：

節點電壓法：
$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u=\frac{u_{S1}}{R1}+\frac{u_{S2}}{R_2}+\frac{ri_1}{R_3}$

其中： $i_1=-\frac{u-u_{S1}}{R_1}$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u=(\frac{1}{R_1}+\frac{r}{R_1R_2})u_{S1}+\frac{u_{S2}}{R_2}$

對應於 $y=ax_1+bx_2$

$y\rightarrow u\qquad u_{S1}\rightarrow x_1\qquad u_{S2}\rightarrow x_2$

使得 $u_{S1}(x_1)$ 等於0，考慮 $y''=bx_2$ :

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u'=\frac{u_{s2}}{R_2}+\frac{ri_1}{R_3}\qquad$

其中： $i_1=\frac{-u'}{R_1}\rightarrow$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u'=\frac{U_{S2}}{R_2}$

使得 $u_{S2}(x_2)$ 等於0，考慮 $y'=ax_1$ :

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})u''=\frac{u_{S1}}{R_1}+\frac{ri_1}{R_3}$

其中： $i_1=\frac{u_{S1}-u''}{R_1}\rightarrow$

$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{r}{R_1R_3})u''=(\frac{1}{R_1}+\frac{r}{r_1+R_3})u_{S1}$

$u=u'+u''$