递推：HDU 折线分割平面（详解）

直线分割平面

求n条直线最多可以把平面分为多少个区域

当有n-1条直线时，平面最多被分为f(n-1)个区域。要使加入第n条直线后使区域数最多，则第n条直线要和前面的n-1条直线都相交，且没有任何三条直线相交于一个点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分成两条射线和n-2条线段。而每条射线和线段将已有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域(即n)。
f(1)=2
f(n)=f(n-1)+n=1+1+2+3+...+n=1+n*(n+1)/2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[25];

int main()
{
	int n;
    a[1]=2;
	for(int i=2;i<=20;i++)
	a[i]=a[i-1]+i;
	while(cin>>n)
	cout<<a[n]<<endl;
}
//或cout<<1+n*(n+1)/2<<endl;

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折线分割平面

根据上面的直线分割平面可知，交点决定了射线和线段的条数，进而决定了新增的区域数。

当有n-1条折线时，最大区域数为f(n-1)。当加入第n条折线时，为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*(n-1)条线段相交。这样就会得到4*(n-1)个交点，这些交点将第n条折线分为2条射线和4*(n-1)条线段。需要注意：折线本身相邻的两个线段只能增加一个区域（上图中的6区域）
f(1)=2
f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+2-1=f(n-1)+4*(n-1)+1=2n^2-n+2

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练习：HDU 折线分割平面

Problem Description
我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。

Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。

Output
对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。

Sample Input
2
1
2

Sample Output
2
7

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[10005];

int main()
{
	int C;
	a[1]=2;
	for(int i=2;i<=10000;i++)
	a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;
	cin>>C;
	while(C--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		cout<<a[n]<<endl;
	}
	return 0;
}
//或cout<< 2*n*n-n+2 <<endl;

内容借鉴：(转)直线分割平面 与 平面分割区域 问题

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递推算法总结：

递推算法