Codeforce 1305 F. Kuroni and the Punishment（思維 + 隨機化算法 + shuffle函數使用）

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好題，第一次接觸隨機化算法

題目大意：有 n 個正整數 $a_i$，執行一次操作可以選擇某個 $a_i$ 讓它 + 1 或 - 1，並保持仍是正整數，爲至少需要多少次操作可以使整個序列的 gcd 不等於 1。

gcd 不爲 1，只要每個數都整除某個質因子，設其整除的質因子爲 $p$，每個數字可以貪心統計答案：
若 a[i] >= p，ans += min(a[i] % p,p - a[i] % p)
若 a[i] < p，ans += p - a[i] % p 因爲執行操作必須保證數字還是正整數，只能往上加不能減

一種 $navie$ 的做法就是枚舉所有的質因子，並貪心統計答案。
當枚舉的質因子爲 2 時，每個數字最多需要操作一次，於是得到一個答案的上限：n

於是可以得知，在最優情況下，需要操作一次以上的數不超過一半，至少有一半的數最多只需要操作一次。一個數操作一次後有三種可能 ：x,x + 1,x - 1，如果能找到一個數字它在最優解的情況下最多隻操作一次，對這數字操作一次或零次的三種情況進行求解，就一定能得到答案。

在這個序列隨機選一個數，有至少 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 的概率選中的數 它在最優解的情況下最多只需要操作一次。

用隨機化算法，進行隨機抽取30次並求解，得不到答案的概率至少爲 $2^{-30}$，概率非常小。

進行隨機抽取可以用 shuffle 函數，shuffle 函數的作用是 使用一個隨機數引擎將 [L,R] 內的數字打亂。
參考博客:shuffle 使用

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代碼:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
typedef long long ll;
int n;
ll a[maxn],ans;
vector<int> g;
vector<ll> h;
void insert(ll x) {
	for (ll i = 2; i * i <= x; i++) {
		if (x % i == 0) {
			while (x % i == 0) x /= i;
			h.push_back(i);
		}
	}
	if (x > 1) h.push_back(x);
}
void solve() {
	ans = n;
	for (auto v : h) {
		ll res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (a[i] >= v) res += min(a[i] % v,v - a[i] % v);
			else res += (v - a[i] % v);
		}
		ans = min(ans,res);
	}
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld",&a[i]);
		g.push_back(i);
	}
    unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
    shuffle(g.begin(),g.end(),default_random_engine (seed));
    for (int i = 0; i < g.size() && i < 30; i++) {
    	insert(a[g[i]]);
    	insert(a[g[i]] + 1);
    	if (a[g[i]] > 1) insert(a[g[i]] - 1);
	}
	solve();
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}