兩個多邊形之間的切線算法
前言
之前的文章中討論了點到多邊形的切線，這裏繼續討論兩個分離的多邊形之間的切線問題。與點到多邊形的切線相似，只是略微複雜。因爲：
- 必須以同樣的方式考慮兩個多邊形的頂點，因此算法複雜度必然增加；
- 對於兩個多邊形之間，存在4條切線，如下圖。
當兩個多邊形都是凸多邊形時，存在快速切線算法。對於非凸多邊形，必須採用暴力搜索；或者先求凸包，然後再求切線。當多邊形是簡單多邊形（不自交）時，後者算法更快。因爲兩個凸包能夠使用Melkman’s algorithm在O(m)和O(n)的時間複雜度內計算；然後凸包之間的切線能夠在O(m+n)，甚至O(log(m+n))的時間複雜度內計算。
暴力算法
我們不妨記兩個多邊形分別爲
最簡單的暴力算法是測試連接
如果其中一個多邊形是凸的，假設是
線性搜索算法
如何兩個多邊形都是凸的，那麼很容易給出一個線性時間O(m+n)的算法。
算法的思路是在兩個Polygon之間選擇性地搜索切線的終點，直到線的兩端點都滿足相切條件。該算法最初由Preparata & Hong在1977年提出，後來O'Rourke在1998年給出了完整的表述。
因爲切線必然不與兩個Polygon相交，所以算法首先尋找能夠“看到”另一個Polygon的頂點。例如在
找到這樣的兩個初始點後，連接這兩個初始點的線段按照一定的次序改變其中一個端點。
首先，其中一個端點在其所屬的Polygon上順序前進，直到這條線段與Polygon相切；
然後另一個Polygon上的端點也順序前進，直到線段與該Polygon相切；
接下來回到前一個Polygon，繼續這個過程，直到連接兩個端點的線段同時與兩個Polygon都相切。
頂點變化的方向決定了，4條切線中的哪一條會被找到。例如：在下圖中，假定初始線段爲line#1，然後
因爲在算法中頂點始終朝一個方向前進，而且沒有回溯，所以 最多檢查了(m+n)個點對，因此算法複雜度是O(m+n)。
該算法的一個難點是如何尋找初始的兩個頂點，要求分別在
下面給出了一個計算Right-Left切線的一個C++實現 RLtangent_PolyPolyC()。該算法在調用時，只需改變兩個Polygon的輸入次序，就能得到Left-Right切線。對該函數做輕微的修改就可以得到Right-Right切線和Left-Left切線。
// Assume that classes are already given for the objects:
// Point with coordinates {float x, y;}
//===================================================================
// isLeft(): test if a point is Left|On|Right of an infinite line.
// Input: three points P0, P1, and P2
// Return: >0 for P2 left of the line through P0 and P1
// =0 for P2 on the line
// <0 for P2 right of the line
// See: Algorithm 1 on Area of Triangles
inline float
isLeft( Point P0, Point P1, Point P2 )
{
return (P1.x - P0.x)*(P2.y - P0.y) - (P2.x - P0.x)*(P1.y - P0.y);
}
// Rtangent_PointPolyC(): binary search for convex polygon right tangent
// Ltangent_PointPolyC(): binary search for convex polygon left tangent
// 這兩個算法已經在https://blog.csdn.net/u013279723/article/details/104239723中給出
// RLtangent_PolyPolyC(): get the RL tangent between two convex polygons
// Input: m = number of vertices in polygon 1
// V = array of vertices for convex polygon 1 with V[m]=V[0]
// n = number of vertices in polygon 2
// W = array of vertices for convex polygon 2 with W[n]=W[0]
// Output: *t1 = index of tangent point V[t1] for polygon 1
// *t2 = index of tangent point W[t2] for polygon 2
void
RLtangent_PolyPolyC( int m, Point* V, int n, Point* W, int* t1, int* t2 )
{
int ix1, ix2; // search indices for polygons 1 and 2
// first get the initial vertex on each polygon
ix1 = Rtangent_PointPolyC(W[0], m, V); // right tangent from W[0] to V
ix2 = Ltangent_PointPolyC(V[ix1], n, W); // left tangent from V[ix1] to W
// ping-pong linear search until it stabilizes
int done = FALSE; // flag when done
while (done == FALSE) {
done = TRUE; // assume done until...
while (isLeft(W[ix2], V[ix1], V[ix1+1]) <= 0){
++ix1; // get Rtangent from W[ix2] to V
}
while (isLeft(V[ix1], W[ix2], W[ix2-1]) >= 0){
--ix2; // get Ltangent from V[ix1] to W
done = FALSE; // not done if had to adjust this
}
}
*t1 = ix1;
*t2 = ix2;
return;
}
//===================================================================
二分搜索算法
存在更快的O(log(m+n))時間複雜度的算法，對於尋找兩個凸多邊形的外部切線。[Kirkpatrick & Snoeyink, 1995] 給出了這樣一個算法，http://www.cs.ubc.ca/spider/snoeyink/papers/nosep.ps.gz 這篇文章中對該算法進行了詳細描述，有興趣的可以查閱。
延伸閱讀
David Kirkpatrick & Jack Snoeyink, "Computing Common Tangents without a Separating Line", Workshop on Algorithms and Data Structures, 183-193 (1995) [downloadable with C code from http://www.cs.ubc.ca/spider/snoeyink/papers/nosep.ps.gz ]
Joseph O'Rourke, Computational Geometry in C (2nd Edition), Sects 3.7-3.8, 88-95 (1998)