優雅高效的多邊形對稱性判定算法

前言

在計算幾何、機器人運動規劃、圖像輪廓分析中，我們常常需要知道一個平面圖形的對稱性（包括旋轉對稱、軸對稱和鏡像對稱）。那麼給定一個平面簡單多邊形，是否存在O(n)的算法，找出其所有的對稱軸和旋轉對稱角度？

答案是肯定的。下面我們一起來看看這一優雅高效的算法吧。

對稱問題的巧妙轉化

對於對稱性求解，一個直接的方法就是逐個頂點依次嘗試（對於軸對稱，還要嘗試邊的中點），然後判斷圖形是否重合，但是這種做法時間複雜度，太過愚蠢。

其實上述逐點嘗試比對的過程，有點像字符串匹配問題：在字符串A中尋找字符串S。

假設串B的長度爲n,串A的長度爲m，我們知道KMP算法可以在O(m+n)的時間複雜度內找到A中所有S的匹配位置。

我們將KMP算法推廣一下，它可以用於任何信息串的匹配。只要修改相應的比較函數即可。

將多邊形按照某種規則進行編碼，得到模式串S，然後通過合理構造匹配串A，使用KMP算法在A中尋找S的匹配，即可求解得到S的對稱性。利用KMP思想判斷對稱性的過程如下：

1. 編碼：將多邊形按照某種規則進行編碼，編碼成信息串S；
2. 構造匹配串：根據要判斷旋轉對稱還是軸對稱來構造不同的匹配信息串A
3. 匹配：用KMP算法在A中尋找S的匹配位置
4. 解碼：找到對稱軸/對稱角度

下面對此進行詳細說明。

旋轉對稱

                                     

旋轉對稱就是要求解一個圖形的旋轉對稱角度：上圖中，左圖的對稱角度是360/3=120度，右圖是360/5=72度。

我們需要先將多邊形的每一個頂點信息編碼爲二元組(Length, Angle),其中Length爲邊長、Angle爲頂點的內角。

上圖中，邊長均爲l，那麼多邊形編碼爲如下數組：

                     

對於任意一個多邊形，假設其編碼爲：

那麼構造旋轉對稱的匹配串如下：

讀者可以思考一下：爲什麼這麼構造呢？這麼構造，以下三點是成立的：

• 匹配位置對應旋轉角度
• 收割匹配位置不爲,則是旋轉對稱圖形
• 旋轉角度爲：首個匹配位置（從1開始）*360/n,n是S的長度

構造出了模式串和匹配串，利用KMP算法尋找匹配即可得到旋轉對稱角度。

 

軸對稱

       

軸對稱判定需要找出所有的對稱軸。上圖中雪花有6條對稱軸，而蝴蝶只有1條對稱軸。

對於軸對稱，每個頂點處的編碼二元組與旋轉對稱一樣。但是整個多邊形的編碼序列則有所不同，如下：

                                                                        

原因如下圖：

軸對稱後邊長和夾角的順序改變，所以要將編碼序列倒序，且其中的爲{到的長度; 的夾角}。

匹配串A的編碼序列基本不變：.

對於軸對稱，其解碼規則如下：

• 每個匹配位置對應一個對稱軸
• 對稱軸的另一個端點在“對面”
• 匹配位置每往後一個，對稱軸經過的頂點後移半個（頂點移動半個是中點）

以下圖爲例，匹配位置爲（0，1，2，3，4，5）：

 

紅色數字表示頂點的編碼順序，而綠色數字表示解碼出的對稱軸。

 

算法原理清楚了，相信讀者不難寫出代碼，這裏不再贅述。如有需要可以私信本人。