矩阵乘法和矩阵快速幂

摘要

本文主要讲解矩阵乘法和矩阵快速幂。内容不难，都是定理，重点是矩阵乘法的应用。

蓝桥杯知识点汇总：
https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

矩阵

数学上，一个${\displaystyle m\times n}$的矩阵是一个由$m$行（row）n列（column）元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2行3列的矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$
-------引用自维基百科。

知道了矩阵是什么后，看看什么是矩阵乘法。

矩阵乘法

数学中，矩阵乘法（英语：matrix multiplication）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（英语：matrix product）。设${\displaystyle A}$是${\displaystyle n\times m}$的矩阵，${\displaystyle B}$是${\displaystyle m\times p}$的矩阵，则它们的矩阵积${\displaystyle AB}$是${\displaystyle n\times p}$的矩阵。${\displaystyle A}$中每一行的${\displaystyle m}$个元素都与${\displaystyle B}$中对应列的${\displaystyle m}$个元素对应相乘，这些乘积的和就是${\displaystyle AB}$中的一个元素。
-------引用自维基百科。

直接看图：

矩阵乘法的代码实现就是直接模拟乘法过程，所以没什么好说的，直接给出代码：

public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){ // c = a * b
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; // 中间数组
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}

矩阵快速幂

矩阵快速幂和普通快速幂思路完全一样，实现代码的时候将整数乘法变为矩阵乘法就可以了。
代码：

public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; 
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}
	
	
	public static void qmi(long[][] a, long b, long[][] c){// a = a * c^b
		while(b != 0){
			if((b & 1) == 1){
				mut_mul(a, c, a);
			}
			b >>= 1;
			mut_mul(c, c, c);
		}
	}

以上就是矩阵快速幂的代码了。

矩阵乘法的应用

矩阵是数学家求解线性方程组的过程中发明的，对于：

将未知数的系数归为一个矩阵，将未知数归为一个矩阵，将结果归为一个矩阵得到：

用第一个矩阵乘以第二个矩阵，就可以得到原来的线性方程组。
所以矩阵相乘更像是一种函数，让第一个矩阵通过某种映射关系，转化到另一个矩阵。

对于斐波那契数列数列：$1,1,2,3,5,7...$
转化为关系式：$f[n] = f[n-1] + f[n-2]$
从第三项开始，每一项都是前两项的和，我们能否用矩阵相乘来表示这个关系呢？
设矩阵A为：

设矩阵C为：

矩阵A怎么变为矩阵C呢？
矩阵C的第一个元素为$f[n-1],第二个元素为f[n-2] 。矩阵A的第一个元素也为f[n-1]，那么让矩阵A中的f[n-1]乘以1，让f[n-2]乘以0，不就得到f[n-1]了嘛，然后让f[n-1]*1 + f[n-2]*1， 不就得到f[n]了嘛$

所以我们构造出一个关系矩阵：

于是可以将$f[n] = f[n-1] + f[n-2]$ 转化为:
对于斐波那契数列来说，关系矩阵是不变的，所以如果要用上式来求斐波那契数列的第$n$的话，我们可以这样做：

即用矩阵$[1, 1]$乘以关系矩阵n-1次。
这样做的时间复杂度反而比用原本的关系式递推求$f[n]$更高了，但是我们可以对其进行优化，那就是用矩阵快速幂来算关系矩阵的(n-1)次方。这样时间复杂度就降到了$O(log(n))$级别。

一般要用矩阵乘法求解的问题都要构造一个关系矩阵，能否正确的构造出关系矩阵，就是解题的关键了。

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例题：

蓝桥杯 算法训练 奇异的虫群

问题描述
　　在一个奇怪的星球上驻扎着两个虫群A和B，它们用奇怪的方式繁殖着，在t+1时刻A虫群的数量等于t时刻A虫群和B虫群数量之和，t+1时刻B虫群的数量等于t时刻A虫群的数量。由于星际空间的时间维度很广阔，所以t可能很大。OverMind 想知道在t时刻A虫群的数量对 p = 1,000,000,007.取余数的结果。当t=1时 A种群和B种群的数量均为1。
输入格式
　 测试数据包含一个整数t，代表繁殖的时间。
输出格式
　 输出一行，包含一个整数，表示对p取余数的结果
样例输入
　 10
样例输出
　 89
样例输入
　 65536
样例输出
　 462302286
　
数据规模和约定
　　对于50%的数据 t<=10^9
　　对于70%的数据 t<=10^15
　　对于100%的数据 t<=10^18

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题解：
正解就是构造一个关系矩阵，然后用求斐波那契数列第n项的方式求解答案就可以了，先不看下面的题解，自己尝试构造一下吧。

题目说：在$t+1时刻，A等于t时刻的A+B，B等于t时刻的A$。
我们设矩阵A为$[A_t, B_t]$, 矩阵C为$[A_t + B_t, A_t]$
则关系矩阵为：

得到关系矩阵后就直接套用矩阵乘法和矩阵快速幂模板就可以了，$第t时刻的矩阵等于[1, 1] * 关系矩阵的(n-1)次方$

AC代码:

因为最大数据是$10^{18}$,注意用long，还有一点是，因为数据太大了，矩阵乘法中，加法加完也要取模。

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
	
	static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
	static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
	
	static final int mod = 1000000007;
	
	public static void mut_mul(long[][] a, long[][] b, long[][] c){
		long[][] t = {{0, 0}, {0, 0}}; // 中间数组
		
		for(int i = 0; i < 2; i++)
			for(int j = 0; j < 2; j++)
				for(int k = 0; k < 2; k++)
					t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k]*b[k][j]) % mod)%mod;
					
		for(int i = 0; i < 2; i++) c[i] = Arrays.copyOf(t[i], 2);
	}
	
	
	public static void qmi(long[][] a, long b, long[][] c){// a = a * c^b
		while(b != 0){
			if((b & 1) == 1){
				mut_mul(a, c, a);
			}
			b >>= 1;
			mut_mul(c, c, c);
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) throws NumberFormatException, IOException{
		long n;
		n = Long.valueOf(in.readLine());
		long[][] a = {{1,1}, {0,0}}; //初始A和B都是1， 然后因为矩阵乘法都是二维数组，所以这里也将其写作二维数组。
		long[][] c = {{1, 1}, {1, 0}};// 关系数组
		qmi(a, n-1, c);
		out.write(a[0][0] + "\n");
		out.flush();
	}
}