編寫用時：2020年3月12日12:02:28~1h
動態規劃經典例題——最長公共子序列和最長公共子串（python）
很久之前大概是高中的時候寫過這種題目，使用動態規劃的方法求解的，現讀研究生了，要把過去的拾起來的呢。
1. 最長公共子序列（LCS）
1.1 問題描述
1.2 思路
利用動態規劃。
下一步就要找到狀態之間的轉換方程。
因此可以根據這個方程來進行填表，以"helloworld"和“loop”爲例：
1.3 Python代碼
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]
#python 初始化二維數組 [len2+1],[len1+1]
for i in range(1,len2+1): #開始從1開始，到len2+1結束
for j in range(1,len1+1): #開始從1開始，到len2+1結束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
else:
res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])
return res,res[-1][-1] #返回res[len2+1][len1+1]
print(LCS("helloworld","loop"))
# 輸出結果爲：
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3
所以"helloworld"和"loop"的最長公共子序列的長度爲3。
1.4 找到具體的子序列
下面的內容借鑑了博主Running07的博客動態規劃 最長公共子序列 過程圖解
如果有兩個字符串如下：
S1 = “123456778”
S2 = “357486782”
其最終的動態規劃填表結果爲：
其中S1和S2的LCS並不是只有1個。
我們根據遞歸公式：
構建了上表，
通過遞推公式，可以看出，res[i][j]的值來源於res[i-1][j]或者是res[i-1][j]和res[i][j-1]的較大值（可能相等）。
我們將從最後一個元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
res[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，res[8][9]的值來源於c[8][8]的值(因爲res[8][8] > res[7][9])。
res[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，res[8][8]的值來源於 res[7][7]。
以此類推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且res[i-1][j] = res[i][j-1] 這種存在分支的情況，這裏都選擇一個方向（之後遇到這樣的情況，也選擇相同的方向，要麼都往左，要麼都往上）。
可得S1和S2的LCS爲{3、5、7、7、8} 這是遇見相等的時候，統一往左走
S1和S2之間還有一個LCS 這是遇見相等的時候，統一往上走：
可得S1和S2的LCS爲{3、4、6、7、8}
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)] #python 初始化二維數組 [len1+1],[len2+1]
for i in range(1,len2+1): #開始從1開始，到len2+1結束
for j in range(1,len1+1): #開始從1開始，到len2+1結束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
else:
res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])
string=""
i=len(string2);
j=len(string1);
while (i > 0) & (j > 0): #一開始我不知道加（）邏輯錯誤
#開始從1開始，到len2+1結束
print(i,j)
if string2[i-1] == string1[j-1]:
string=string+string2[i-1]
i=i-1
j=j-1
else:
if res[i-1][j]>res[i][j-1]:
i=i-1
elif res[i-1][j]<res[i][j-1]:
j=j-1
else:
i=i-1
return res,res[-1][-1],string[::-1] # 倒序輸出
print(LCS("helloworld","loop"))
輸出：
4 10
3 10
3 9
3 8
3 7
2 6
2 5
1 4
([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3, 'loo')
2. 最長公共子串
2.1 問題描述
2.2 思路
和最長公共子序列一樣，使用動態規劃的算法。
下一步就要找到狀態之間的轉換方程。
和LCS問題唯一不同的地方在於當A[i] != B[j]時，res[i][j]就直接等於0了，因爲子串必須連續，且res[i][j] 表示的是以A[i]，B[j]截尾的公共子串的長度。因此可以根據這個方程來進行填表，以"helloworld"和“loop”爲例：
這個和LCS問題還有一點不同的就是，需要設置一個result，每一步都更新得到最長公共子串的長度。
2.3 Python代碼
def LCstring(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]
result = 0
for i in range(1,len2+1):
for j in range(1,len1+1):
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
result = max(result,res[i][j])
return result
print(LCstring("helloworld","loop"))
# 輸出結果爲：2
2.4 返回子串
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)] #python 初始化二維數組 [len1+1],[len2+1]
result =0
index=0
for i in range(1,len2+1): #開始從1開始，到len2+1結束
for j in range(1,len1+1): #開始從1開始，到len2+1結束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
if result<res[i][j]:
index=i
result = max(res[i][j],result)
string=string2[index-result:index]
return res,result,string # 輸出
print(LCS("hellooxworld","looxoxp"))
([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]],
4, 'loox')