行列式、矩陣的秩
行列式可以理解爲n維向量組成的n維空間的體積，比如說22的行列式，就可以看成是兩組向量組成的平行四邊形的面積，三維就是平行六面體的體積，以此類推。若其中有兩組或以上的向量線性相關，圍成面積or體積爲0，因此行列式爲0。因此由這些向量組成的矩陣不可逆。
矩陣的秩即爲最高階非零子式的階數，本質上就是組成該矩陣的線性無關的向量個數。因此若一個矩陣n*n大小的秩爲n，等價於線性無關向量的個數爲n，因此行列式有值且不爲0，因此矩陣可逆。初等行變換不改變矩陣的秩
線性相關與線性無關
線性相關等價於齊次線性方程組有非零解也即若一組向量線性無關，那麼齊次方程組只有零解。且若向量組部分線性相關，那麼整體向量組一定線性相關；若整體向量組線性無關，則部分向量組也線性無關。一組向量組可以用另一組較少數目的向量組表示的話，那麼這組多的向量組一定線性相關。
極大線性無關組：一組向量中的部分向量爲線性無關，且改組向量中的所有向量均能由這組部分向量線性表示出來，就稱該部分向量組爲極大線性無關組。其部分向量組的個數爲向量的秩，等價於矩陣的秩。
線性方程組的解
一、齊次方程組
滿秩時，有唯一零解。秩r<n時，有非零解，且有n-r個線性無關解
二、非齊次方程組
若矩陣的秩與增廣矩陣的秩不同，則無解。
若兩者相同，且秩的大小爲n，則有唯一解；若r<n，則有無窮多解。
其解爲齊次通解+非齊次特解
特徵值與特徵向量
特徵值的性質：特徵值乘積爲行列式的值，特徵值求和等於矩陣的對角線上的值求和。
特徵向量的性質：
求解特徵值與特徵向量的方法：一般先用特徵多項式求出特徵值，然後利用特徵多項式|λ E-A|=0求出λ ，再解齊次線性方程組（λ E-A）x=0求得特徵向量x。
相似矩陣、可相似對角化、實對稱矩陣
相似矩陣：A、B爲n階方陣，若存在n階可逆方陣P，滿足PAP-1=B，則稱A、B爲相似矩陣。相似矩陣具有相同的秩、行列式的值、相同特徵多項式、相同特徵值。
可相似對角化：若n階矩陣A，存在n階可逆矩陣P，滿足PAP-1=A1；其中A1爲對角矩陣，則稱A矩陣可相似對角化。
1.A矩陣有n個線性無關的特徵向量。
2.A對應的每個k重特徵值都對應着k個線性無關的特徵向量。
3.A矩陣爲實對稱矩陣。
4.A矩陣有n個不同的特徵值。
其中1.2是充要條件、3.4爲充分條件。
實對稱矩陣的相似矩陣
實對稱矩陣屬於不同特徵值的特徵向量均正交。
實對稱矩陣必相似於對角矩陣，且存在正交矩陣Q，滿足QAQ-1=A1。
二次型
合同矩陣：對於n階方陣A、B，存在可逆方陣C，滿足CT A C=B,則稱A、B爲合同矩陣。
由二次型化爲標準二次型方法：正交變換法、配方法
二次型：爲了保證唯一性，所以二次型需爲對稱的。標準二次型即需要僅含平方項的二次型。規範型二次型則需要在標準型上所有係數爲-1、0、1.
正定矩陣：假設二次型f（x1，x2，…）=XT A X ,若對任何非零向量x=（x1，x2，…),都有f>0，則稱A爲正定矩陣。反之爲負定矩陣