【LeetCode練習題】5. 最長迴文子串

寫在前面

這個題目之前在高中的時候就曾經寫過，現在到了研究生很多東西需要再重新撿起來的呢，在面試中也曾經兩次遇到這樣的題目，現在在今天2020年3月12日10:14:49統一整理一下，預計花費2個小時的時間。

題目描述

給定一個字符串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度爲 1000。

示例 1：

輸入: “babad” 輸出: “bab” 注意: “aba” 也是一個有效答案。 示例 2：

輸入: “cbbd” 輸出: “bb”

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring
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方法一：最長公共子串

最大的迴文子串，可以替換成最長公共子串，兩個字符串最長的公共的部分的，但是存在反向副本時，策略失效，需要補充條件進行判定，如果反向子串索引和原始索引相同則更新。

花了一個小時學習最長公共子串的算法，花了半個小時想出了序號的判別方法。時間複雜度O(n²) leetcode
不能AC最後一個樣例超時。吃個飯繼續搞~

    def longestPalindrome( s):
        string1=s
        string2=s[::-1]
        len1 = len(string1)
        len2 = len(string2)
        res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]  
        #python 初始化二維數組 [len1+1],[len2+1]
        result =0
        index=0
        for i in range(1,len2+1):  #開始從1開始，到len2+1結束
            for j in range(1,len1+1):  #開始從1開始，到len2+1結束
                if string2[i-1] == string1[j-1]:
                    res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
                    if (result<=res[i][j])& (len(string1)-i==j-res[i][j]):
                        index=j
                        result = res[i][j]        
        string=string1[index-result:index] 
   
        return string  # 輸出
 print(longestPalindrome("adabxxcbada"))

方法二：暴力法

方法三：動態規劃方法

動態規劃的方法，關鍵在於尋找邊界狀態。這個也不能AC，會超時，關於數組邊界的問題，讓我體會了一把python的金穗。

def longestPalindrome(s):
        if(s == ""):  return s
        strlen = len(s)
        dp=[[False for i in range(len(s))] for j in range(len(s))]
        for i in range(len(s)): dp[i][i] = True
        for i in range(len(s)-1): dp[i][i+1] = (s[i] == s[i+1])
        left = 0
        right = 0
        maxnum = 1;
        for i in range(len(s)-2,-1,-1):  #下左標 ，從0 開始 一定要倒置，否則計算出來的有問題，從小到大推過來的。
            for j in range(1,len(s)):  #下右標
                # P(i,j)=(P(i+1,j−1) and Si==Sj)
                if(i != j ) & (j != i+ 1):
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] & (s[i] == s[j]);
                if(dp[i][j]) & (maxnum < j - i + 1):
                    maxnum = j - i + 1;
                    left = i;
                    right = j;
                print(i,j,dp[i][j])
        return s[left:right+1];
print( longestPalindrome("ab"))

方法四：中心擴展法

解法五: Manacher’s Algorithm 馬拉車算法

馬拉車算法 Manacher‘s Algorithm 是用來查找一個字符串的最長迴文子串的線性方法，由一個叫 Manacher 的人在 1975 年發明的，這個方法的最大貢獻是在於將時間複雜度提升到了線性。

首先我們解決下奇數和偶數的問題，在每個字符間插入 “#”，並且爲了使得擴展的過程中，到邊界後自動結束，在兩端分別插入 “^” 和 “$”，兩個不可能在字符串中出現的字符，這樣中心擴展的時候，判斷兩端字符是否相等的時候，如果到了邊界就一定會不相等，從而出了循環。經過處理，字符串的長度永遠都是奇數了。

首先我們用一個數組 P 保存從中心擴展的最大個數，而它剛好也是去掉 “#” 的原字符串的總長度。例如下圖中下標是 6 的地方，可以看到 P[ 6 ] 等於 5，所以它是從左邊擴展 5 個字符，相應的右邊也是擴展 5 個字符，也就是 “#c#b#c#b#c#”。而去掉 # 恢復到原來的字符串，變成 “cbcbc”，它的長度剛好也就是 5。

求原字符串下標

用 P 的下標 i 減去 P [ i ]，再除以 2，就是原字符串的開頭下標了。

例如我們找到 P[ i ] 的最大值爲 5，也就是迴文串的最大長度是 5，對應的下標是 6，所以原字符串的開頭下標是（6 - 5 ）/ 2 = 0。所以我們只需要返回原字符串的第 0 到 第（5 - 1）位就可以了。

求每個 P [ i ]

接下來是算法的關鍵了，它充分利用了迴文串的對稱性。

我們用 C 表示迴文串的中心，用 R 表示迴文串的右邊半徑。所以 R = C + P[ i ]。C 和 R 所對應的迴文串是當前循環中 R 最靠右的迴文串。

讓我們考慮求 P [ i ] 的時候，如下圖。

用 i_mirror 表示當前需要求的第 i 個字符關於 C 對應的下標。