KMP算法快速理解

一、最長公共子綴

公共子綴分爲前綴和後綴
前綴：總是包含第一個字符的子串（不包括父串本身）
後綴：總是包含最後一個字符的子串（不包括父串本身）
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舉個例子：
父串ABCDEAB
前綴：A、AB、ABC、ABCD、ABCDE、ABCDEA
後綴：B、AB、EAB、DEAB、CDEAB、BCDEAB
最長公共子綴就是指完全相同的最長前綴和後綴
在上述的例子中最長公共子綴是AB，長度爲2。
如下圖所示，最長公共子綴就是看前、後有多少完全相同的字符。

二、next數組

next數組的值其實就是【當前位置之前的字符串】的最長公共子綴長度
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舉個例子：
父串ABAABACA
當我們在計算C字符對應的next數組值時，我們其實就是要計算ABAABA這個字符串的最長公共子綴。
ABAABA的前綴有A、AB、ABA、ABAA、ABAAB
                  後綴有A、BA、ABA、AABA、BAABA
最長的公共子綴是ABA，長度爲3，所以C這個位置的next數組值就是3。
由於第一個字符之前沒有任何字符，所以我們規定第一個字符處的next數組值爲-1；第二個字符之前只有1個字符，但是我們規定子綴是不能包含父串本身的，所以最長公共子綴爲0；其他位置的按照標準計算即可。
根據定義，父串ABAABACA的next數組值爲：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
str[i]	A	B	A	A	B	A	C	A
next[i]	-1	0	0	1	1	2	3	0

三、基於next數組的文本匹配

KMP算法解決的問題是在父串中查找子串是否存在。
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我們舉例來說明KMP的工作過程
父串txt=BBCABCDABEABCDABCDABDE
子串str=ABCDABD
（1）求出子串str的next數組

i	0	1	2	3	4	5	6
str[i]	A	B	C	D	A	B	D
next[i]	-1	0	0	0	0	1	2

（2）指針定位到父串的開頭和子串的開頭，匹配第一個字符

（3）子串第一個字符就不匹配，子串不動，父串移動，繼續和子串第一個字符匹配

（4）子串第一個字符仍然不匹配，子串不動，父串移動，繼續和子串第一個字符匹配

（5）子串第一個字符仍然不匹配，子串不動，父串移動，繼續和子串第一個字符匹配

（6）子串第一個字符匹配了，則子串和父串同時向後移動，繼續匹配，直到匹配到子、父串不相等（或者子串匹配完成，則查找結束）

（7）匹配到不相等的位置，該位置在子串中的下標是i，則父串不動，子串向左移動i-next[i]個位置，比如圖中位置D在子串中下標是6，next[6]=2，則子串向左移動6-2=4個位置。

（8）繼續比較當前位置的子串是否和父串相等，如果等則子串、父串一起後移；如果不等則重複上面的過程，也就是左移i-next[i]個位置

（9）左移完之後繼續比較子串是否和父串相等，發現不等，這時發現子串已經回到了頭部，再左移沒有位置移動了，所以此時只移動父串，繼續和子串第一個位置比較

（10）發現父串和子串第一個位置相同，則父串、子串一起向後移動，直到匹配到不相同的字符（或者子串匹配完成，則查找結束）

（11）發現了不相等的字符，則子串向左移動i-next[i]個字符

（12）移動之後繼續匹配，如果相等就父串、子串一起往後動；如果不等就子串左移i-next[i]個字符；如果已經回退到子串頭部了，那就只移動父串就好

（13）子串已經匹配完了，查找結束。

所以KMP的基本工作原理就是：

1.如果子串在頭部，則：

• 若子串、父串相等，則同時往後移動
• 若子串、父串不等，則父串往後移動

2.如果子串不在頭部，則：

• 若子串、父串相等，則同時往後移動
• 若子串、父串不等，則子串往左移動i-next[i]個位置

四、KMP工作原理
你應該發現，KMP的核心要義其實就是左移i-next[i]這個部分了，那爲什麼這個部分可以幫助我們減少比較的工作量呢？
傳統的匹配算法如下圖：

在匹配到不相同的字符時，父串回退到剛纔開始匹配位置的下一個位置，子串回退到頭部，從頭開始匹配。
我們明顯覺得很麻煩，甚至可以喊一聲：你要退也退到一個跟子串開頭字符相等的位置吧，幹嘛非得一位一位動？

就比如下圖，我們在父串E位置匹配失敗了，如果要重新匹配，那肯定也是從剛纔匹配過的字符中找一個跟子串頭位置相等的位置，比如標紅的A處開始重新匹配吧，那爲什麼移動i-next[i]就正好能找到這個位置呢？

回顧一下next數組的含義：next[i]指的是【i之前的字符串】的最長公共子綴長度。

next數值告訴了我們兩個信息，一是子串從哪個位置開始和頭部相等，二是從那個位置開始，到當前位置結束，一共有多少個相同的字符和頭部是匹配的。
比如上圖位置D，next[6]=2，就代表str[6-2]=str[4]這個位置是跟頭部字符是相同的；而從str[4]這個位置開始，有2個字符和從頭部開始有2個字符時相同的。
從子串開頭開始有X₀X₁兩個字符和D前面兩個字符X₄X₅相等，既然X₀X₁=X₄X₅，現在X₆和父串不相等，那我們下一步就應該看看X₃和父串對應位置是否相等。