CF1225E

E. Rock Is Push

題意

出發點(1,1)到終點(n,m)，只能向右和向下走，路上有障礙物用’R’表示，空地用’.'表示，你的力氣巨大無比可以推動所有箱子，只要箱子不貼牆。求有多少種走法？

思路

棋盤dp 前綴和（優化計算降低複雜度）
DP題一般都會滿足三個條件：子問題重疊、無後效性、最優子結構性質。
這道題滿足以上三點。
$dp[i][j]$的方案數可由$dp[i][j-1]$和$dp[i-1][j]$推出，滿足子問題重疊。
只用考慮最右邊和最左邊的箱子，其他箱子不用考慮，滿足無後效性。
最優解由已知最優解推出滿足最優子結構性質。
設二維狀態數組 $r,d$，表示在(i,j)位置時下一步向右$（r）$或向下$（d）$走，到達目標位置(n,m)的方案總數，由定義可得$r[n][m]=d[n][m]=1$

難點:
需要將向右走和向下走分成兩個部分來分別dp
思考dp的時候得到狀態轉移方程之後自然而然想到要倒着dp（正難則反）

d數組代表可以下的方案數，r數組代表可以向右的方案數。
狀態轉移方程：
$d[i][j]=\sum_{k=1}^{n-i-ds[i][j]}r[i][j+k]$
$r[i][j]=\sum_{k=1}^{m-i-rs[i][j]}d[i+k][j]$
這裏爲了計算方便要前綴和算出這些和用$sumr[] sumd[]$數組分別表示下一步往右走的前綴和 和下一步往下走的前綴和。

那麼爲什麼d數組要對r數組求和呢？
首先因爲我們下一步往下走，所以一定對下一行的數求解，那麼爲什麼要對下一行往右走的數組求和呢？
假若我們對下一行往下走的數求和，你想想下一步往下的格子上一步一定在上面的格子。我們往下走一步，一定可以往右走。
同理r數組對d數組求和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const ll  mod  = 1e9 + 7;
const ll  maxn = 1e6 + 5;
const int N = 2050;

ll n,m,r[N][N],d[N][N],rs[N][N],ds[N][N],sumr[N][N],sumd[N][N];
char s[N];

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(s[j]=='R'){
				rs[i][j]=1;//表示
				ds[i][j]=1;
			}
		}
	}
	if(n==1&&m==1){cout<<1;return 0;}
	//後綴和
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=m;j>=1;j--){
			rs[i][j]+=rs[i][j+1];
			ds[i][j]+=ds[i+1][j];
		}
	}
	r[n][m]=d[n][m]=sumr[n][m]=sumd[n][m]=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=m;j>=1;j--){
			if(i==n&&j==m) continue;
			r[i][j] = (sumd[i][j+1] - sumd[i][m - rs[i][j+1] + 1]) % mod;
			d[i][j] = (sumr[i+1][j] - sumr[n - ds[i+1][j] + 1][j]) % mod;
			sumr[i][j] = (sumr[i+1][j] + r[i][j]) % mod;//表示(i,j)到(n,m)範圍內下一步右移的總個數
			sumd[i][j] = (sumd[i][j+1] + d[i][j]) % mod;//表示(i,j)到(n,m)範圍內下一步下移的總個數
		}
	}
	cout<<((r[1][1] + d[1][1]) % mod + mod) % mod;//因爲dp式中可能出現負數的情況故+mod再取模
	return 0;
}