啃書：圖像處理的偏微分方程方法(1) —— 數學準備：平面微分幾何

我一直認爲圖論+概率統計將會是圖像處理的最終趨勢，但我目前水平有限，稍微深入一點就很難理解，看各種論文也無法全面理解，偶然翻到這本書，覺得講的非常好，特此進行分析，希望能儘快啃掉這本書。

我看書就按照書上給的順序閱讀吧，第一章主要講的各種基本圖像處理方法，像是個小前言，沒啥值得看的，直接進入第二章——數學準備第一節：平面微分幾何。

1 平面曲線的微分性質

從一維實數域到二維實數域的映射：$C(p):[a,b]\in R \rightarrow R^2$定義了一條平面曲線，$p$爲曲線的參數，即對任一$p\in[a,b]$確定了曲線上的一個點$C(p)=(x(p),y(p))$。

這個其實也就是圖像中二維曲線的定義，$C(p)$也就是個向量，因此這個曲線對$p$的導數也是個向量，$C_p=(x_p,y_p)$，其方向爲曲線的切線方向，模長就是$|C_p|=(x_p^2+y_p^2)^{1/2}$。導數在這裏也可以理解爲曲線上的位置隨着$p$的增加的變化速率，因此$C_p$也就是速度矢量。

現在計算曲線從起點$p_0=a$到$p$點所經過的距離——弧長：$s(p)=\int_{a}^{p}|C_p(\tau)|d\tau$，兩邊求導有$\dfrac{ds}{dp}=|C_p|$。當我們利用弧長$s$作爲曲線的參數時，則有$|C_s|=1$，此處的$C_s$並不是直接把$C_p$中的$p$換成$s$，$C_s=(x_p,y_p)\dfrac{dp}{ds}=\dfrac{(x_p,y_p)}{(x_p^2+y_p^2)^{1/2}}$，這樣$|C_s|=1$就很顯然了，並$T:=C_s$。進而有$<C_s,C_s>=1$，其導數$<C_s,C_{ss}>=0$，即向量$C_{ss}$與$C_s$正交。

定義與$T$構成右手座標系的單位矢量爲法矢量$N$，顯然$C_ss$與$N$共線，因此可以表達爲$C_{ss}=\kappa N$，其中比例係數$\kappa$爲曲率，這是一個數。當$C_ss$與$N$平行時，$\kappa$爲整數，否則爲反平行時，$\kappa$爲負數。（注：由於$N$的方向是由$T$按右手座標系確定的，而$T$的方向是參數增大的方向，它決定與曲線起點的規定。可見對於一條開放的曲線而言，曲率取正號或負號取決於曲線起點的規定，但對於閉合曲線而言，起點和終點在同一位置，不過這時仍可規定曲線的繞行方向，按照慣例規定逆時針繞行方向，於是N將指向閉合曲線內部，因而當曲線向外凸出時，曲率爲正，否則爲負。）

結合之前得到的$C_s$，計算$C_{ss}$，$\dfrac{dC_s}{dp}=\dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}(-y_p, x_p)$，即可得$C_{ss}$。

$C_{ss}=\dfrac{dC_s}{dp}\dfrac{dp}{ds} = \dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}\cdot \dfrac{(-y_p, x_p)}{(x_p^2+y_p^2)^{1/2}}$

即可得曲率的表達形式：
$\kappa = \dfrac{x_py_{pp}-x_{pp}y_p}{(x_p^2+y_p^2)^{3/2}}$

書中證明弧長和曲率，針對於旋轉和平移，都是不改變的，這裏就不進行證明了。記住弧長和曲率是旋轉平移不變量即可。

2 平面封閉曲線的水平集表示方法

對於平面封閉曲線，除了可以用上節的顯示錶示方法外，還有隱式表達法$C=\{(x,y), u(x,y)=c\}$，也就是說曲線$C$是滿足$u(x,y)=c$的點集，這稱爲函數$u(x,y)$的一個水平集，這時稱$u(x,y)$是曲線$C$的嵌入函數 embedding function，$c=0$時，稱爲零水平集。

如果在水平集的某一點$p$沿水平集的切線方向對$u(x,y)$求方向導數，則由於$u(x,y)$沿水平集保持不變，則有$\dfrac{du}{dT}=\dfrac{\partial u}{\partial x}cos\theta+\dfrac{\partial u}{\partial y}sin\theta=0$，其中$\theta$表示切向量與x軸的夾角。可見，$u(x,y)$的梯度矢量$\bigtriangledown u:=\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}\right)$與水平集的切向量垂直，而且梯度矢量總是指向$u$增大的方向，因此水平集的單位法矢量可以表達爲：$N=\pm\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$，如果$u(x,y)$在零水平集內部取正值，外部負值時，規定$N=\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$，反之，$N=-\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$。這樣就使N總是指向封閉曲線的內部，從而與上面所述的閉合曲線法方向N的規定相一致。

在之後討論曲線演化的水平集方法時，總是約定嵌入函數$u(x,y)$的零水平集，並且規定在零水平集內部爲負數，外部爲正數，因此$N=-\dfrac{\bigtriangledown u}{|\bigtriangledown u|}$，結合之前工作，即可計算水平集的曲率：

$\kappa=\dfrac{u_{xx}u_y^2-2u_xu_yu_{xy}+u_{yy}u_x^2}{(u_x^2+u_y^2)^{3/2}}$

3 平面曲線的全局性質

對於封閉曲線而言，具有如下全局性質：

(1) 圓是具有常數曲率的唯一封閉曲線
(2) 每一封閉曲線至少有4個頂點。所謂頂點是指在這些點曲率的一階導數爲0，顯然按照這個定義，圓上每一點都是頂點。
(3) 封閉曲線的全部曲率爲$2\pi$的整數倍，即$\oint\kappa(s)ds=2\pi k$。
(4) 周長不等式：記A和L分別爲封閉曲線的面積和周長，那麼有$L\geqslant 2\sqrt{\pi A}$，僅當封閉曲線是圓時，上式等號成立。

總結

當前文檔是爲了學習水平集相關方法而學的一些基礎定義與理論，後續會不斷地根據需要的知識對當前基礎知識進行擴展和補充。