决策树算法推导&python应用

决策树公式推导

（1）信息熵－－用来度量样本集合纯度最常用的一种指标，定义如下：
$\operatorname{Ent}(D)=-\sum_{k=1}^{\vert{\mathcal{Y}}\vert}p_k\log_2p_k\tag{式1}$
其中，$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)\}$表示样本集合，$|y|$表示样本类别总数，$P_k$表示第$k$类样本所占的比例，而且满足$0\le{P_k}\le{1\cdot\sum_{k=1}^{|y|}p_k=1}$。上式值越小，则纯度越高。（样本尽可能属于同一类别，则“纯度”更高）

[证]：证明$0\leq\operatorname{Ent}(D)\leq\log_{2}|\mathcal{Y}|$：
已知集合$D$的信息熵的定义为
$\operatorname{Ent}(D)=-\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|} p_{k} \log _{2} p_{k}\tag{式2}$
其中，$|\mathcal{Y}|$表示样本类别总数，$p_k$表示第$k$类样本所占的比例，且$0 \leq p_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}p_k=1$。如若令$|\mathcal{Y}|=n,p_k=x_k$，那么信息熵$\operatorname{Ent}(D)$就可以看作一个$n$元实值函数，也即
$\operatorname{Ent}(D)=f(x_1,...,x_n)=-\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k} \tag{式3}$
其中，$0 \leq x_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}x_k=1$，下面考虑求该多元函数的最值。

最大值：

如果不考虑约束$0 \leq x_k \leq 1$，仅考虑$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$的话，对$f(x_1,...,x_n)$求最大值等价于如下最小化问题
$\begin{array}{ll}{ \operatorname{min}} & {\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k} } \\ {\text { s.t. }} & {\sum\limits_{k=1}^{n}x_k=1} \end{array}\tag{式4}$
其中，$y=x\log{x}$函数图像如下：

这样一来，在$0 \leq x_k \leq 1$时，此问题为凸优化问题，而对于凸优化问题来说，满足KKT条件的点即为最优解。由于此最小化问题仅含等式约束，那么能令其拉格朗日函数的一阶偏导数等于0的点即为满足KKT条件的点。根据拉格朗日乘子法可知，该优化问题的拉格朗日函数如下:
$L(x_1,...,x_n,\lambda)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\tag{式5}$
其中，$\lambda$为拉格朗日乘子。对$L(x_1,...,x_n,\lambda)$分别关于$x_1,...,x_n,\lambda$求一阶偏导数，并令偏导数等于0可得到下式:
$\begin{aligned} \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_1}&=\cfrac{\partial }{\partial x_1}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &=\log _{2} x_{1}+x_1\cdot \cfrac{1}{x_1\ln2}+\lambda=0 \\ &=\log _{2} x_{1}+\cfrac{1}{\ln2}+\lambda=0 \\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\\ 对x_2求偏导数有：\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_2}&=\cfrac{\partial }{\partial x_2}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{2}-\cfrac{1}{\ln2}\\ \vdots\\ 对x_n求偏导数有：\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial x_n}&=\cfrac{\partial }{\partial x_n}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \lambda=-\log _{2} x_{n}-\cfrac{1}{\ln2}\\ 对\lambda求偏导数有：\\ \cfrac{\partial L(x_1,...,x_n,\lambda)}{\partial \lambda}&=\cfrac{\partial }{\partial \lambda}\left[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2} x_{k}+\lambda(\sum_{k=1}^{n}x_k-1)\right]=0\\ &\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}x_k=1 实际上就等于约束条件。\\ \end{aligned}\tag{式6}$
整理一下可得：
$\left\{ \begin{array}{lr} \lambda=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}=-\log _{2} x_{2}-\cfrac{1}{\ln2}=...=-\log _{2} x_{n}-\cfrac{1}{\ln2} \\ \sum\limits_{k=1}^{n}x_k=1 \end{array}\right.\tag{式7}$

由以上两个方程可以解得：
$x_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}\tag{式8}$

又因为$x_k$还需满足约束$0 \leq x_k \leq 1$，这样就得到$0 \leq\cfrac{1}{n}\leq 1$，所以$x_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}$是满足所有约束的最优解，也即为当前最小化问题的最小值点，同时也是$f(x_1,...,x_n)$的最大值点。将$x_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}$代入$f(x_1,...,x_n)$中可得:
$f(\cfrac{1}{n},...,\cfrac{1}{n})=-\sum_{k=1}^{n} \cfrac{1}{n} \log _{2} \cfrac{1}{n}=-n\cdot\cfrac{1}{n} \log _{2} \cfrac{1}{n}=\log _{2} n\tag{式9}$
所以$f(x_1,...,x_n)$在满足约束$0 \leq x_k \leq 1,\sum_{k=1}^{n}x_k=1$时的最大值为$\log _{2} n$。

最小值：

如果不考虑约束$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$，仅考虑$0 \leq x_k \leq 1$，$f(x_1,...,x_n)$可以看做是$n$个互不相关的一元函数的加和，即：
$f(x_1,...,x_n)=\sum_{k=1}^{n} g(x_k) \tag{式10}$
其中，$g(x_k)=-x_{k} \log _{2} x_{k},0 \leq x_k \leq 1$。那么当$g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)$分别取到其最小值时，$f(x_1,...,x_n)$也就取到了最小值。所以接下来考虑分别求$g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)$各自的最小值，由于$g(x_1),g(x_2),...,g(x_n)$的定义域和函数表达式均相同，所以只需求出$g(x_1)$的最小值也就求出了$g(x_2),...,g(x_n)$的最小值。下面考虑求$g(x_1)$的最小值，首先对$g(x_1)$关于$x_1$求一阶和二阶导数:
$g^{\prime}(x_1)=\cfrac{d(-x_{1} \log _{2} x_{1})}{d x_1}=-\log _{2} x_{1}-x_1\cdot \cfrac{1}{x_1\ln2}=-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\tag{式11}$
$g^{\prime\prime}(x_1)=\cfrac{d\left(g^{\prime}(x_1)\right)}{d x_1}=\cfrac{d\left(-\log _{2} x_{1}-\cfrac{1}{\ln2}\right)}{d x_1}=-\cfrac{1}{x_{1}\ln2}\tag{式12}$
发现，当$0 \leq x_k \leq 1$时$g^{\prime\prime}(x_1)=-\cfrac{1}{x_{1}\ln2}$恒小于0，所以$g(x_1)$是一个在其定义域范围内开口向下的凹函数，那么其最小值必然在边界取，于是分别取$x_1=0$和$x_1=1$，代入$g(x_1)$可得:
$g(0)=-0\log _{2} 0=0\tag{式13}$
$g(1)=-1\log _{2} 1=0\tag{式14}$
所以，$g(x_1)$的最小值为0，同理可得$g(x_2),...,g(x_n)$的最小值也为0，那么$f(x_1,...,x_n)$的最小值此时也为0。

但是，此时是不考虑约束$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$，仅考虑$0 \leq x_k \leq 1$时取到的最小值，若考虑约束$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$的话，那么$f(x_1,...,x_n)$的最小值一定大于等于0。如果令某个$x_k=1$，那么根据约束$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$可知$x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0$，将其代入$f(x_1,...,x_n)$可得：
$f(0,0,...,0,1,0,...,0)=-0 \log _{2}0-0 \log _{2}0...-0 \log _{2}0-1 \log _{2}1-0 \log _{2}0...-0 \log _{2}0=0 \\ \tag{式15}$
所以$x_k=1,x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0$一定是$f(x_1,...,x_n)$在满足约束$\sum_{k=1}^{n}x_k=1$和$0 \leq x_k \leq 1$的条件下的最小值点，其最小值为0。

综上可知，当$f(x_1,...,x_n)$取到最大值时：$x_1=x_2=...=x_n=\cfrac{1}{n}$，此时样本集合纯度最低；当$f(x_1,...,x_n)$取到最小值时：$x_k=1,x_1=x_2=...=x_{k-1}=x_{k+1}=...=x_n=0$，此时样本集合纯度最高。

（2）条件熵–在已知样本属性$a$的取值情况下，度量样本集合纯度的一种指标：
$H(D|a)=\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\tag{式16}$
其中，$a$表示样本的某个属性，假定属性$a$有$V$个可能的取值$\{a^1,a^2,\cdots,a^V\}$,样本集合$D$中在属性$a$上取值为$a^v$的样本记为$D^v$,$\operatorname{Ent}(D^v)$为样本集合$D^v$的信息熵。$H(D|a)$越小，纯度越高。

１. ID3 决策树

ID3决策树----以信息增益为准则来选择划分属性的决策树。信息增益定义如下：
$\begin{aligned} \operatorname{Gain}(D,a) &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-H(D|a) \end{aligned}\tag{式17}$
选择信息增益值最大的属性作为划分属性。因为信息增益越大，则意味着使用该属性来进行划分所获得的“纯度提升”越大。

将（式17）进一步展开写为如下形式：
$\begin{aligned} \operatorname{Gain}(D,a) &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\operatorname{Ent}(D^v)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\left(-\sum_{k=1}^{\mathcal{|Y|}}p_k\log_2p_k\right)\\ &=\operatorname{Ent}(D)-\sum_{v=1}^{V}\cfrac{|D^v|}{|D|}\left(-\sum_{k=1}^{\mathcal{|Y|}}{\cfrac{|D_k^v|}{|D^v|}}\log_2{\cfrac{|D_k^v|}{|D^v|}}\right)\tag{式18} \end{aligned}$
其中，$D_k^v$为样本集合$D$中在属性$a$上取值为$a^v$且类别为$k$的样本。

$\Longrightarrow$以信息增益为划分准则的ID3决策树对可取值数目较多的属性有所偏好。

2. C4.5决策树

C4.5决策树----以信息增益率为准则来选择划分属性的决策树。信息增益率定义为：
$\operatorname{Gain-ratio}(D,a)=\cfrac{\operatorname{Gain}(D,a)}{\operatorname{IV}(a)}\\ 其中，\operatorname{IV}(a)=-\sum_{v=1}^{V}{\cfrac{|D^v|}{|D|}}\log_2{\cfrac{|D^v|}{|D|}}\tag{19}$

增益率准则，对可取值数目较少的属性有所偏好，因此C4.5算法并不是直接选择增益率最大的划分属性，而是使用了一个启发式；先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

3. CART决策树

CART决策树----以基尼指数为准则来选择划分属性的决策树。基尼值定义为：
$\begin{aligned} \operatorname{Gini}(D)&=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}\sum_{k^{\prime}\neq{k}}p_k^{\prime}p_k=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_k\sum_{k^{\prime}\neq{k}}p_k^{\prime}\\ &=\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_k(1-p_k)=1-\sum_{k=1}^{|\mathcal{Y}|}p_{k}^2\tag{式20} \end{aligned}$
基尼指数：
$\operatorname{Gini-index}(D,a)=\sum_{v=1}^{V}{\cfrac{|D^v|}{|D|}}\operatorname{Gini}(D^v)\tag{式21}$
基尼值和基尼指数越小，样本集合纯度越高。

CART决策树分类算法：
1.根据基尼指数公式找出基尼指数最小的属性$a_*$
2.计算属性$a_*$的所有可能取值的基尼值$\operatorname{Gini}(D^v)$，并选择基尼值最小的取值$a_*^v$作为划分点。将集合$D$划分为$D_1$和$D_2$两个集合(节点)，其中$D_1$集合的样本为$a_*=a_*^v$的样本，$D_2$集合为$a_*\neq{a_*^v}$的样本。
3.对集合$D_1,D_2$重复步骤1和2，知道满足条件。

4. 决策树的构建

author by xiaoyao 这里我使用酒的数据集来演示一下决策树的构建。

# 导入libraries
import numpy as np
# 导入画图工具
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
# 导入tree模型和数据集加载工具
from sklearn import tree, datasets
# 导入数据集拆分工具
from sklearn.model_selection import train_test_split
wine = datasets.load_wine()
# 这里只选取数据集的前两个特征
X = wine.data[:,:2]
y = wine.target
# 将数据集划分为训练集个测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)

# 忽略警告
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

# 设定决策树分类器最大深度为1
clf = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=1)
# 拟合训练数据集
clf.fit(X_train, y_train)

DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=1,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')

# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 1)")
plt.show()

最大深度为1时，分类器的表现不很好，下面加大深度

# 设定决策树分类器最大深度为3
clf2 = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=3)
# 拟合训练数据集
clf2.fit(X_train, y_train)

DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=3,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')

# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf2.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 3)")
plt.show()

此时，分类器就可以进行3个分类的识别，而且大部分的数据点都进入了正切的分类。接下来进一步调整深度。

# 设定决策树分类器最大深度为3
clf3 = tree.DecisionTreeClassifier(max_depth=5)
# 拟合训练数据集
clf3.fit(X_train, y_train)

DecisionTreeClassifier(class_weight=None, criterion='gini', max_depth=5,
                       max_features=None, max_leaf_nodes=None,
                       min_impurity_decrease=0.0, min_impurity_split=None,
                       min_samples_leaf=1, min_samples_split=2,
                       min_weight_fraction_leaf=0.0, presort=False,
                       random_state=None, splitter='best')

# 定义图像中分区的颜色和散点的颜色
cmap_light = ListedColormap(["#FFAAAA", "#AAFFAA", "#AAAAFF"])
cmap_bold = ListedColormap(["#FF0000", "#00FF00", "#0000FF"])

# 分别用样本的两个特征值创建图像和横轴、纵轴
x_min, x_max = X_train[:,0].min() - 1, X_train[:,0].max() + 1
y_min, y_max = X_train[:,1].min() - 1, X_train[:,1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, .02),np.arange(y_min, y_max, .02))
z = clf3.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
# 给每个分类中的样本分配不同的颜色
z = z.reshape(xx.shape)
plt.figure()
plt.pcolormesh(xx, yy, z, cmap=cmap_light)

# 使用散点图进行表示
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y, cmap=cmap_bold, edgecolor="k",s=20)
plt.xlim(xx.min(), xx.max())
plt.ylim(yy.min(), yy.max())
plt.title("Classifier:(max_depth = 3)")
plt.show()

发现，性能进一步提升了。接下来我使用graphviz这个library来展示这个过程。

安装方式：pip install -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple graphviz

%pwd

'D:\\python code\\8messy'

# 导入graphviz工具包
import graphviz
# 导入决策树中输出graphviz的接口
from sklearn.tree import export_graphviz
# 选择最大深度为3的分类模型
export_graphviz(clf2, out_file="./wine.dot", class_names=wine.target_names,
               feature_names = wine.feature_names[:2], impurity=False,filled=True)
# 打开一个dot文件
with open('./wine.dot') as f:
    dot_graph = f.read()
# 显示dot文件中的图形
graphviz.Source(dot_graph)