【數學】C048_訪問所有點的最小時間（切比雪夫距離）

一、題目描述

平面上有 n 個點，點的位置用整數座標表示 points[i] = [xi, yi]。請你計算訪問所有這些點需要的最小時間（以秒爲單位）。

你可以按照下面的規則在平面上移動：

每一秒沿水平或者豎直方向移動一個單位長度，或者跨過對角線（可以看作在一秒內向水平和豎直方向各移動一個單位長度）。
必須按照數組中出現的順序來訪問這些點。

輸入：points = [[1,1],[3,4],[-1,0]]
輸出：7
解釋：一條最佳的訪問路徑是：
 [1,1] -> [2,2] -> [3,3] -> [3,4] -> [2,3] -> [1,2] -> [0,1] -> [-1,0]   
從 [1,1] 到 [3,4] 需要 3 秒 
從 [3,4] 到 [-1,0] 需要 4 秒
一共需要 7 秒

二、題解

方法一：切比雪夫距離

設兩點之間的 x，y 軸距離是 dx 和 dy。秉持着可以走對角線，儘量走對角線的原則，不過在這題裏面，不不能一味地老師計算距離的。

我們發現當我們走過 max(dx, dy) 距離時，即使我們的路徑不對，但是秒數是對的。所以我們把情況歸納爲 3 種：

• $dx < dy$：沿對角線移動 dx 次，再豎直移動 dy - dx 次，總計 dx + (dy - dx) = dy 次；
• $dx = dy$：沿對角線移動 dx 次；
• $dx > dy$：沿對角線移動 dy 次，再水平移動 dx - dy 次，總計 dy + (dx - dy) = dx 次。

public int minTimeToVisitAllPoints(int[][] P) {
    int min = 0;
    for (int i = 1; i < P.length; i++) {
        int distX = Math.abs(P[i][0]-P[i-1][0]);
        int distY = Math.abs(P[i][1]-P[i-1][1]);
        min += Math.max(distX, distY);
    }
    return min;
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，