【數學】B084_LC_可被 K 整除的最小全 1 整數（set 判重 / 數學推導）

一、Problem

給定正整數 K，你需要找出可以被 K 整除的、僅包含數字 1 的最小正整數 N。

返回 N 的長度。如果不存在這樣的 N，就返回 -1。

示例 1：
輸入：1
輸出：1
解釋：最小的答案是 N = 1，其長度爲 1。

輸入：2
輸出：-1
解釋：不存在可被 2 整除的正整數 N 。

提示：

1 <= K <= 10^5

二、Solution

方法一：set 判重

思路

只包含 1 的數字的推導方法是：N = N × 10 + 1（N 初值爲 1），但爲防止溢出，我們在外面增加了一層取模：N = (N × 10 + 1) % K)

如果求解 N的過程中，遇到了重複數字，那麼證明該數字永遠不能被 K 整除了，返回 -1 即可

特判：當 N 爲 1 且 K 爲 1 時，N 可被 K 整除，應立即返回 1

class Solution {
    public int smallestRepunitDivByK(int K) {
        int N = 1 % K, len = 1;
        Set<Integer> seen = new HashSet<>();
        while (N != 0) {
            if (seen.contains(N))
                return -1;
            seen.add(N);
            N = (N * 10 + 1) % K;
            len++;
        }
        return len;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(...)$，
• 空間複雜度：$O(...)$，

---

方法二：數學推導 = 空間壓縮

別人的給出的證明說 K = 2 或 5 的倍數時，全 1 數字不可能被此時的 K 除盡，其它一樣…

class Solution {
    public int smallestRepunitDivByK(int K) {
        if (K % 2 == 0 || K % 5 == 0)
            return -1;
        int N = 1, len = 1;
        while (N % K != 0) {
            N = (N * 10 + 1) % K;
            len++;
        }
        return len;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(...)$，
• 空間複雜度：$O(...)$，